Если вы думаете, что системы счисления — это сложно, вы просто не знаете один простой секрет. Сегодня я покажу вам, как решать 80% задач из 14-го задания ЕГЭ буквально за 2-3 минуты. Готовы узнать магическую формулу?
Часть 1: Теория, которую поймет даже пятиклассник
Что такое система счисления?
Представьте, что у вас есть яблоки. Вы можете записать их количество как «5» — это привычная десятичная система. А можете как «101» — это двоичная система. Количество яблок не изменилось, изменился только способ записи.
Основание системы — это количество цифр, которое в ней используется:
Десятичная: цифры 0-9 (основание 10)
Двоичная: цифры 0,1 (основание 2)
Восьмеричная: цифры 0-7 (основание 8)
Шестнадцатеричная: цифры 0-9, A-F (основание 16)
Главный секрет — формула перевода в десятичную систему:
Развернутая форма числа:
ABC₁ₖ = A×k² + B×k¹ + C×k⁰,
Где k — основание системы счисления.
Пример: 123₄ = 1×4² + 2×4¹ + 3×4⁰ = 16 + 8 + 3 = 27₁₀
Запомните эту формулу — она решит 80% задач из ЕГЭ!
Часть 2: Практика — решаем реальную задачу из ЕГЭ
Задача (ЕГЭ по информатике, задание 14):
Операнды арифметического выражения записаны в системах счисления с основаниями 15 и 17:
123x5₁₅ + 67y9₁₇
В записи чисел переменными x и y обозначены неизвестные цифры из допустимых алфавитов. Определите значения x и y, при которых значение данного выражения будет наименьшим и краным 131. В ответе запишите это значение в десятичной системе счисления.
Шаг 1: Переводим оба числа в десятичную систему
Вспоминаем нашу волшебную формулу:
123x5₁₅ = 1×15⁴ + 2×15³ + 3×15² + x×15¹ + 5×15⁰
= 1×50625 + 2×3375 + 3×225 + x×15 + 5
= 50625 + 6750 + 675 + 15x + 5
= 58055 + 15x
67y9₁₇ = 6×17³ + 7×17² + y×17¹ + 9×17⁰
= 6×4913 + 7×289 + y×17 + 9
= 29478 + 2023 + 17y + 9
= 31510 + 17y
Шаг 2: Составляем выражение
Сумма: (58055 + 15x) + (31510 + 17y) = 89565 + 15x + 17y
Шаг 3: Учитываем условия
Выражение должно быть кратно 131:
(89565 + 15x + 17y) ÷ 131 = целое число
x и y — цифры в соответствующих системах:
x — цифра в 15-ричной системе: 0 ≤ x ≤ 14
y — цифра в 17-ричной системе: 0 ≤ y ≤ 16
Нужно найти минимальное значение выражения.
Шаг 4: Находим x и y
Сначала найдем 89565 ÷ 131 = 683 (остаток 92)
Значит: 89565 + 15x + 17y = 131×(683 + k), где k — натуральное число
Упрощаем: 15x + 17y = 131k - 92
Нам нужно минимальное значение, поэтому начнем с k = 1:
15x + 17y = 131 - 92 = 39
Теперь подбираем x и y:
Если y = 0: 15x = 39 → x = 2,6 (не целое)
y = 1: 15x = 22 → x = 1,47
y = 2: 15x = 5 → x = 0,33
y = 3: 15x = -12 (не подходит)
Ни одного целого решения! Пробуем k = 2:
15x + 17y = 262 - 92 = 170
y = 0: 15x = 170 → x = 11,33
y = 1: 15x = 153 → x = 10,2
y = 2: 15x = 136 → x = 9,07
y = 3: 15x = 119 → x = 7,93
y = 4: 15x = 102 → x = 6,8
y = 5: 15x = 85 → x = 5,67
y = 6: 15x = 68 → x = 4,53
y = 7: 15x = 51 → x = 3,4
y = 8: 15x = 34 → x = 2,27
y = 9: 15x = 17 → x = 1,13
y = 10: 15x = 0 → x = 0 ✅
Шаг 5: Проверяем решение
x = 0, y = 10 — удовлетворяют ограничениям (0 ≤ x ≤ 14, 0 ≤ y ≤ 16)
Вычисляем выражение: 89565 + 15×0 + 17×10 = 89565 + 170 = 89735
Проверяем кратность 131: 89735 ÷ 131 = 685 ✅
Бонус: Как сэкономить 15 минут на экзамене
Секрет №1: Всегда начинайте с проверки, делится ли исходное число (без x и y) на нужный делитель. В нашем случае 89565 ÷ 131 = 683 (остаток 92). Это сразу показывает, что 15x + 17y должно давать остаток 131 - 92 = 39.
Секрет №2: Не перебирайте все варианты! Замечайте закономерности. В нашем случае 15x + 17y = 170 решилось при y = 10, x = 0.
Секрет №3: Если не находится решение для минимального k, не паникуйте — просто переходите к следующему.
Ответ: 89735
Ваше домашнее задание:
Попробуйте решить похожую задачу:
32x4₁₂ + 56y8₁₄
Найдите минимальное значение, кратное 121.
Ответы пишите в комментариях — разберу самые сложные случаи!
Если этот разбор был полезен, поставьте лайк и подпишитесь на канал. Переходи в телеграмм-канал, где получишь только свежую и полезную информацию для экзамена!