Эпиграф: "но взрослея , после утрат мы не рвётся в последний бой
просто мы вернёмся назад , по кривой , по кривой" (С.Никифорова)
Обложкой этой статьи я выбрал два изображения Гуттиэре - первое из фильма , а второе построил ИИ , исходя из текста романа А.Беляева (и это единственное использование ИИ в этой статье) .
Почему такой эпиграф ? Ответ в конце статьи .
Почему хватка бультерьера ? Ответ : я взялся такой хваткой за уравнение золотого сечения .
Эта статья является прямым продолжением статьи "Катание на яхте в бархатный сезон" , поэтому рекомендую сначала прочитать её.
В ней были получены уравнения
Х^4-Х^3-Х-1=0 (1)
У^4+У^3+У-1=0 (2)
Вот они тут на графиках изображены. Они получаются умножением (х+1) на уравнения "+" и "-" золотого сечения (подробнее смотри в статье "катание на яхте в бархатный сезон")
У них весьма интересные свойства
Тут графики первого уравнения с его первой и второй производной
Напоминаю , что Ф=1/2+✓5/2 есть константа золотого сечения , один из корней уравнения Х^2-Х-1=0 , второй корень это (1-Ф)
Для уравнения У^2+У-1=0 (уравнение "-"золотого сечения) корни будут
-Ф и (Ф-1)
Корни уравнений (1) и (2) изобразим на комплексной плоскости , это это будут точки пересечения окружностей с осями Х и У
По оси Х лежат действительные корни , а по оси У мнимые корни ( они совпадают у обоих уравнений и равны +i, -i ) , где i^2=-1
Замечание: эти графики относятся к ординарным (или эллиптическим) комплексным числам , а вот если взять гиперболические комплексные числа (для них i^2=+1) то графики будут уже такие
Эти две картинки отражают тот факт, что геометрия пространства-времени меняется с Римановой на геометрию Лобачевского ("+" кривизна меняется на "-") и граница этой перемены проходит через точки , являющимися действительными корнями уравнений (1) и (2) ,т.е
-Ф,(1-Ф),(Ф-1),Ф
Теперь объединим одномерные уравнения (1) и (2) в одно общее уравнение и посмотрим на его графики на плоскости ХУ
Все графики получаются друг из друга вращением относительно начала координат
Выпишем явно корни для всех четырех случаев
Х^4-Х^3-Х+У^4+У^3+У=0
х=0,у=0
х=1,у=i,у=-i,у=ф-1,у=-ф
у-1,х=i,x=-i,х=ф,х=1-ф
Х^4+Х^3+Х+У^4-У^3-У=0
х=0,у=0
х=-1,у=i,y=-i,y=ф,у=1-ф
у=1,х=i,x=-i,x=ф-1,х=-ф
Х^4-Х^3-Х+У^4-У^3-У=0
х=0,у=0
х=1,у=i,y=-i,y=ф,у=1-ф
у=1,х=i,x=-i,x=ф,х=1-ф
Х^4+Х^3+Х+У^4+У^3+У=0
х=0,у=0
х=-1,у=i,y=-i,y=ф-1,у=-ф
у=-1,х=i,x=-i,x=ф-1,х=-ф
А вот теперь самый интересный момент - перейдем к матричном у описанию всех этих решений , использую одно простое равенство
Ф^2-Ф-1=0 можно записать как Ф-1/Ф=1
Отсюда , вводя обозначения Ф=φ,1/φ=φ
(φ-ψ)=1 , (φ-ψ)=-1
И следовательно можно построить 3 матрицы аналогичные матрицам Паули и плюс 3 матрицы Паули , но в них 1 и -1 (натуральные числа , с точностью до знака) , заменим на иррациональные числа (φ-ψ) , (φ-ψ)
Сначала матрицы обычные Паули σ1,σ2,σ3
0 (φ-ψ)
(φ-ψ) 0
0 (-iφ+iψ)
(iφ-iψ) 0
(φ-ψ) 0
0 (ψ-φ)
Далее по ним строятся матрицы Дирака и вся стандартная квантовая электродинамика , а вот оставшиеся 3 матрицы , обозначим их ρ1,ρ2,ρ3
будут иметь вид
0 ψ
φ 0
0 -iψ
iφ 0
ψ 0
0 -φ
Из этих матриц строятся матрицы типа матриц Дирака (n=1,2)
0 +ρ(n)
-ρ(n) 0
Третья матрица будет такой
0 0 ψ 0
0 0 0 -φ
-φ 0 0 0
0 ψ 0 0
Назовём их матрицами η1,η2,η3 соответственно, их квадраты равны минус Е ( Е - единичная матрица) , умножая слева произведение η1*η2*η3 на матрицу η0 , определенную следующим образом
Ε 0 0 0
0 Ε 0 0
0 0 -Ε 0
0 0 0 -Ε
получим
i*η0*η1*η2*η3=η5=η5
η5 имеет вид
0 0 ψ 0
0 0 0 φ
φ 0 0 0
0 ψ 0 0
Квадраты матриц η0 и η5 равны Е
Спрашивается , а для чего весь этот огород было городить ?
Ответ : 3 матрицы ρ(n) , где (n=1,2,3)
НЕ ЕСТЬ полный аналог матриц Паули (квадраты трёх матриц "ρ" не равны все Е (смотри матрицу "ρ3" , в противовес матрицам Паули , там квадраты всех матриц равны 1) , а вот матрицы "ή" имеют такие же свойства по значению их квадратов как матрицы Дирака "γ"
И вот теперь итог : имеем 2 набора матриц с одинаковыми собственными векторами , но разными собственными силами (ψ,-φ) , (1,-1) для
ή(n) и γ(n) соответственно , второй набор состоит из стандартных матриц Дирака , n=0,1,2,3,5 (напомню, что три матрицы Паули в комплексном пространстве спиноров однозначно соответствуют трем взаимно ортогональным векторам - базису - в Евклидовом пространстве размерности три) .
Переход к 4-х мерному пространству-времени Эйнштейна получается через матрицы η(n) , γ(n) n=0,1,2,3
Почему φ и ψ дают пространство и время ? Ответ : φ*ψ=1 , посмотрите на гиперболу в первом квадранте . При очень больших Х и У гипербола воспринимается как взаимно ортогональные оси Х и У . И только при Х и У от нуля до 1 видна сильная кривизна гиперболы (напомню, что в Квантовой теории поля применяют систему отсчёта , где скорость света С и постоянная Планка h равны 1) , а φ*ψ=1 это и есть гипербола . В первом квадранте будем иметь материю , а в третьем квадранте антиматерию . Ну это объяснение "на пальцах" , если говорить более корректно то речь идёт о собственных числах , отвечающих собственным векторам матриц η(n) .
Здесь графики двух уравнений
Х-У=1 (3)
ХУ=1 (4)
Объединим их как сделали с (1) и (2)
Будет Х-У=ХУ
Это уравнение имеет интересные корни для нижней ветки гиперболы
Х=1,У=1/2
Х=-1/2,У=-1
Х=φ,У=1/φ=ψ
А для верхней ветки гиперболы соответственно
Х=-2,У=2
Х=-φ,У=1+φ
Напоминаю , что в рациональной системе единиц h=1 , а спины элементарных частиц (гравитонов,фотонов,лептонов,кварков) равняются соответственно (2,1,1/2,1/2) , знаки "+","-" возникают как проекции спинов на направление движения .
Замечание: для нижней ветки гиперболы
Х=φ,У=1/φ
Х-У=ХУ даёт
φ-1/φ=1 т.е . уравнение золотого сечения ,
для верхней ветки гиперболы
Х=-φ,У=1+φ
Х-У=ХУ даёт -2φ-1=-φ-φ^2 , т.е. φ^2-φ-1=0 уравнение золотого сечения .
Составим матрицу М
φ i(1+φ)
iψ -φ
То есть на диагонали стоят М11=+φ,М22=-φ, а М12=i(1+φ),М21=iψ и положим определитель матрицы М равным нулю , получим φ^2-φ-1=0 уравнение золотого сечения .
Вращение пространства-времени задаёт его колебания (ротатор = осциллятору математически)
Колебания дают волны пространства-времени (спин гравитона - частицы /кванта пространства-времени равен 2 в этой модели) .
Через матрицу М задаётся изотропный интервал в пространстве Минковского (тут берется случай размерности 2 , диагональ (+1,-1) для простоты) , т.е. эта матрица показывает , что гравитационные волны/колебания распространяются со скоростью света С =1 .
Замечание : если формально взять φ=ψ=1 то матрицы "ρ" и "ή" переходят в матрицы Паули и Дирака соответственно , т.е. птицы Паули и Дирака это предельный случай матриц "ρ" и "ή" .
С уважением , Кот Шредингера 26.10.2025.