Двоичное кодирование — это метод представления информации с использованием двух символов: 0 и 1. Этот метод широко применяется в информатике и вычислительной технике.
Основные понятия:
- Код — система знаков, используемая для кодирования информации.
- Кодирование — процесс преобразования информации в двоичный код.
- Декодирование — обратный процесс, восстановление исходной информации из двоичного кода.
- Кодовое слово — последовательность двоичных символов, соответствующая одному знаку или символу.
Типы кодов:
- Равномерный код: все кодовые слова имеют одинаковую длину.
- Неравномерный код: длина кодовых слов может различаться.
Условие Фано
Для однозначного декодирования неравномерных кодов используется условие Фано: ни одно кодовое слово не должно быть началом другого. Это условие обеспечивает возможность однозначной расшифровки сообщений.
Пример:
Пусть у нас есть алфавит из букв А, Б, В, Г с кодами:
- А — 0
- Б — 10
- В — 110
- Г — 111
Этот код удовлетворяет условию Фано, так как ни один код не является началом другого.
Подробное решение: Пример работы дерева Фано
Предположим, у нас есть следующие данные:
- 1. Известные коды символов: К – 00, Л – 01, М – 100 и Н – 110.
- 2. Неизвестные символы: П и Р.
- 3. Задача: Найти кратчайшее возможное кодовое слово для буквы П. Если существует несколько подходящих кодов, выбрать тот, который имеет наименьшее числовое значение.
Этапы решения задачи:
Шаг 1. Начало построения дерева. Создаем вершину и две исходные ветви: 0 (влево) и 1 (вправо). На этом этапе у нас еще нет букв, которые мы можем разместить.
Шаг 2. Размещение букв с известными кодами. От каждого узла дерева добавляем две новые ветви. Размещаем буквы К и Л на ветвях 00 и 01 соответственно. Эти ветви блокируются, так как они уже заняты буквами и больше не могут использоваться для дальнейших разветвлений.
Шаг 3. Размещение оставшихся букв. ППродолжаем строить дерево для узлов, которые не заблокированы. Размещаем буквы М и Н на ветвях 100 и 110. Эти ветви также блокируются, так как они заняты буквами.
Шаг 4. Определение кодов для искомых символов. Осталось закодировать две буквы: П и Р. Для буквы Р главное, чтобы она была закодирована уникальным кодом, но конкретный код для неё не критичен. Для буквы П необходимо выбрать кратчайший код. Рассмотрим доступные коды для П – это могут быть 101 или 111. Поскольку требуется выбрать код с наименьшим числовым значением, для П выбираем код 101. Таким образом, букву П кодируем как 101, а букву Р – как 111.
Ответ: 101.
Задания из ЕГЭ (4 задание)
Пример 1
По каналу связи передаются сообщения, содержащие только семь букв: А, Б, Г, И, М, Р, Я. Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Кодовые слова для некоторых букв известны: А — 010, Б — 011, Г — 100. Какое наименьшее количество двоичных знаков потребуется для кодирования слова МАГИЯ?
Примечание. Условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не является началом другого кодового слова.
Ответ 14
ПРимер 2
По каналу связи передаются сообщения, содержащие только семь букв: А, Б, И, К, Л, О, С. Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Кодовые слова для некоторых букв известны: А — 001, И — 01, С — 10. Какое наименьшее количество двоичных знаков потребуется для кодирования слова КОЛОБОК?
Примечание. Условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не является началом другого кодового слова.
Применение:
Двоичное кодирование используется для:
- Представления текста, чисел, изображений и звука в компьютере.
- Эффективной передачи данных по каналам связи.
- Сжатия информации и защиты данных.
ДЗ
По каналу связи передаются сообщения, содержащие только семь букв: А, Б, Г, И, Н, Р, Т. Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Кодовые слова для некоторых букв известны: Г — 110, И — 01, Т — 10. Какое наименьшее количество двоичных знаков потребуется для кодирования слова БАРАБАН?
Примечание. Условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не является началом другого кодового слова.