Когда заряд помещают на проводник, он не остаётся в одном месте — он распределяется по поверхности. Но неравномерно: на острых краях заряда больше, на плоских — меньше. Чтобы описать, сколько заряда приходится на единицу площади, физики ввели понятие поверхностной плотности заряда. Сегодня мы разберём формулу σ = q / S, поймём, когда она применима, как связана с напряжённостью поля и почему именно от неё зависит, куда ударит молния.
Шаг 1. Что такое поверхностная плотность заряда?
Поверхностная плотность заряда (σ) — это физическая величина, показывающая, какой заряд содержится на единице площади поверхности.
Формула:
σ = q / S
где:
- σ — поверхностная плотность заряда (в кулонах на квадратный метр, Кл/м²),
- q — полный заряд, распределённый по поверхности (в кулонах, Кл),
- S — площадь поверхности, по которой распределён заряд (в квадратных метрах, м²).
Шаг 2. Когда применима эта формула?
Формула σ = q / S даёт среднюю поверхностную плотность.
Она точна, только если заряд равномерно распределён по поверхности.
Это выполняется в следующих случаях:
- Бесконечная плоскость с равномерным зарядом,
- Внешняя поверхность сферического проводника (заряд распределяется равномерно),
- Участки поверхности, где кривизна постоянна и нет внешних полей.
На неправильных формах (остриях, углах) заряд распределяется неравномерно, и σ меняется от точки к точке.
Шаг 3. Связь с напряжённостью электрического поля
Для проводника в электростатическом равновесии вблизи его поверхности напряжённость поля связана с плотностью заряда соотношением:
E = σ / ε₀
где:
- E — напряжённость поля у поверхности (В/м),
- ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² Кл²/(Н·м²) — электрическая постоянная.
→ Чем больше σ, тем сильнее поле у поверхности.
Это объясняет, почему:
- На остриях (малая площадь → высокая σ) поле очень сильное,
- В сильном поле воздух ионизируется, и возникает стекание заряда (коронный разряд),
- Поэтому громоотводы делают острыми — чтобы «тихо» снимать заряд с облаков и предотвращать молнию.
Шаг 4. Пример расчёта
На металлический шар радиусом 10 см нанесли заряд q = 3.14 × 10⁻⁹ Кл. Найдите среднюю поверхностную плотность заряда.
Дано:
q = 3.14 × 10⁻⁹ Кл
R = 10 см = 0.1 м
Решение:
- Площадь поверхности шара:
S = 4πR² = 4 · 3.1416 · (0.1)² ≈ 0.1257 м² - Поверхностная плотность:
σ = q / S = 3.14e-9 / 0.1257 ≈ 2.5 × 10⁻⁸ Кл/м²
Ответ: σ ≈ 25 нКл/м².
Шаг 5. Почему заряд на проводнике — только на поверхности?
Внутри проводника свободные электроны движутся до тех пор, пока электрическое поле внутри не станет нулевым.
Если бы заряд был внутри, он создавал бы поле → электроны двигались бы дальше.
Поэтому в равновесии весь избыточный заряд находится на поверхности.
Шаг 6. Распределение заряда на несферических проводниках
На проводнике сложной формы:
- σ максимальна на остриях (малый радиус кривизны),
- σ минимальна во впадинах (большой радиус кривизны).
Пример: на эллипсоиде заряд концентрируется на концах.
Шаг 7. Распространённые ошибки
❌ Ошибка 1: использовать формулу для объёмного или линейного распределения заряда.
→ Для объёма: ρ = q / V, для линии: λ = q / L.
❌ Ошибка 2: применять σ = q / S к внутренней поверхности полого проводника, если внутри нет заряда.
→ В этом случае σ = 0 на внутренней поверхности!
❌ Ошибка 3: забывать, что на сфере распределение равномерное, а на других формах — нет.
Шаг 8. Где применяется поверхностная плотность?
- Конденсаторы: ёмкость зависит от σ на обкладках,
- Электростатическая печать: тонер притягивается к участкам с определённой σ,
- Защита от молний: расчёт σ на мачтах и корпусах самолётов,
- Наноэлектроника: управление зарядом на микроскопических поверхностях.
Шаг 9. Формулы для копирования
- sigma = q / S
- S_шара = 4 * pi * R^2
- E = sigma / epsilon_0 (у поверхности проводника)
- epsilon_0 = 8.85e-12 Кл²/(Н·м²)
- 1 нКл/м² = 1e-9 Кл/м²
Поверхностная плотность заряда — это «карта напряжения» на поверхности проводника. Она объясняет, почему молния выбирает мачту, а не море, и как работают самые точные печатающие устройства. А теперь представьте: вы смотрите на громоотвод и думаете: «На острие площадью 1 мм² при заряде 1 мкКл плотность — 1000 Кл/м²! Поле — 10¹⁴ В/м — хватит, чтобы ионизировать воздух!» Друг спрашивает: «Ты что, с молнией на «ты»?» — а вы отвечаете: «Нет, просто проверяю, соблюдает ли σ = q/S». Он смотрит на небо… и решает укрыться под деревом подальше. Вдруг ваш расчёт привлечёт разряд?