Больше бесконечности

Больше бесконечности

Может ли нечто быть больше самой бесконечности? На первый взгляд, вопрос абсурден, однако математик Георг Кантор сумел доказать, что бесконечность - это еще не предел.

Давайте проделаем мысленное упражнение. Возьмем ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4… и примем его за исходную меру бесконечности. Кантор пользовался собственной терминологией - мощность множества, которая есть обобщение числа элементов. Так вот, множество натуральных чисел обладает мощностью алеф-0 (первая буква алфавита еврейского алфавита).

Теперь сравним это множество с целыми числами: заметим, что единице мы можем сопоставить положительную единицу, двойке - отрицательную, тройке - положительную двойку и так далее. Так как мы имеем дело с бесконечным рядом, сопоставление возможно для всех чисел. Таким образом, мощность множества целых чисел - тоже алеф-0.

Далее выясняется, что множество рациональных чисел (их всегда можно представить в виде дроби m/n, где сверху стоит целое число, а снизу - натуральное) путем хитрой процедуры также можно сопоставить с множеством целых.

А теперь самое интересное для нас. Вещественные числа, куда относятся все объекты, которые можно разместить на числовой прямой (не только рациональные числа, но и, например, их нецелые корни), не получится поставить в однозначное соответствие с целыми. Для каждого натурального числа можно найти свою бесконечность вещественных чисел, из-за чего их множество будет мощнее - алеф-1. А значит, одна бесконечность может быть больше другой.

Именно это открытие сделал Георг Кантор, что позволило представить бесконечные множества разных мощностей. Для чего же все это нужно, спросит удивленный читатель? Хотя бы для того, чтобы человеческий ум никогда не ограничивал себя даже бесконечностью)