Проходим со школьниками методы измерений, погрешности, прямые и косвенные измерения. Как известно, прямые измерения - это когда измеряемая величина считывается по шкале прибора, а косвенные - когда она вычисляется по результатам измерения других величин.
Косвенные измерения встречаются нам на практике довольно часто. Например, я хочу взвесить кошку в домашних условиях, но поставить ее на весы проблематично. Тогда можно взвеситься самой без кошки, а затем взять кошку на руки и взвеситься с кошкой.
Проведение измерений
Вот фотография моих измерений:
Масса кошки, как нетрудно догадаться, будет разностью показаний весов с кошкой и без кошки. Погрешность прямых измерений массы будет определяться приборной погрешностью весов. Мои весы измеряют с точностью до 50 г (0,05 кг). Это будет абсолютная погрешность. Относительная погрешность определяется как отношение абсолютной погрешности к измеряемой величине, выраженная в процентах. Запишу результаты измерений и погрешности в табличку.
Как же рассчитать погрешность косвенных измерений? С какой точностью я взвесила кошку? Для этого существует несколько способов.
Метод границ
В школе для оценки погрешности косвенных измерений часто применяют метод границ. Суть его заключается в том, что рассчитываются максимальные и минимальные значения величин, измеряемых прямо (верхняя и нижняя граница), а затем максимальное и минимальное значение искомой величины. Важно логически сообразить, какие значения величин подставлять в формулу. Например, для нахождения максимальной массы кошки мы из максимальной массы человека с кошкой вычтем минимальную массу человека. Для удобства запишу это в таблицу, вычисления там же.
Погрешность косвенного измерения определяется как полуразность между верхней и нижней границей измеряемой величины. В нашем случае верхняя граница массы кошки составляет 4,45 кг, нижняя граница 4,25 кг, погрешность 0,1 кг. Тогда результат измерения массы кошки нужно тоже округлить до десятых: 4,4 кг.
Таким образом, метод границ позволяет оценить абсолютную и относительную погрешность косвенных измерений. Видно, что абсолютная погрешность определения массы кошки будет в два раза больше абсолютной погрешности прямых измерений. Это логично, ведь мы измеряем две величины, значит, можем ошибиться два раза. Относительная погрешность косвенного измерения более чем в 30 раз больше относительной погрешности прямых измерений, что характеризует метод измерения как достаточно неточный. Действительно, для сравнительно небольших масс абсолютная погрешность не изменится, а относительная будет сильно возрастать. Кошек так взвешивать ещё можно, а вот котят уже не стоит.
Однако метод границ не единственный способ оценки погрешности косвенных измерений. В вузах им почти не пользуются, для косвенных измерений есть специальные формулы.
Формула с производными
На физических практикумах в университетах пугают первокурсников страшными формулами для оценки погрешностей, чем-то вроде вот этого:
Но я не первокурсница, меня не напугать. Я даже больше скажу: формула с производными в некотором роде проще, чем метод границ, так как не надо соображать, при каких значениях прямо измеряемых величин искомая величина будет максимальной или минимальной. Берёшь себе производные и в ус не дуешь. Применим эту формулу к нашей кошке.
Видно, что оценка погрешности в этом способе будет меньше, чем в методе границ. Формула с производными учитывает тот факт, что вероятность ошибиться два раза подряд в большую или меньшую сторону достаточно мала, если измерения независимые. Поэтому погрешности складываются не алгебраически, а получается что-то вроде теоремы Пифагора.
Выбирать тот или иной метод оценки погрешности - дело хозяйское. На мой взгляд, производные проще, но для школьников 7 класса подходит только метод границ.
А пока я кручу-верчу таблицы с производными и мучаю калькулятор, кошки наслаждаются жизнью, отдыхают и греются в лучах осеннего солнца.
Вот они какие:
Пойду и я отдохну. И вам того желаю!
Ваш Великий Шизик.