Пружина — один из самых простых, но удивительных элементов в физике и технике. Она может быть в ручке, в подвеске автомобиля, в весах или даже в вашем матрасе. Но как именно она «знает», с какой силой тянуть обратно? Ответ даёт закон Гука — фундаментальный закон упругости, открытый ещё в XVII веке. Сегодня мы разберём формулу F = –kx, поймём смысл каждого символа, научимся применять её в задачах и увидим, где она работает в реальной жизни.
Шаг 1. Формулировка закона Гука
Закон Гука гласит: сила упругости, возникающая в пружине при её деформации, прямо пропорциональна величине удлинения (или сжатия) и направлена противоположно смещению.
В математической форме это записывается как:
F = –k * x
где:
- F — сила упругости (в ньютонах, Н),
- k — коэффициент жёсткости пружины (в ньютонах на метр, Н/м),
- x — удлинение (или сжатие) пружины относительно её недеформированного положения (в метрах, м),
- знак «–» указывает, что сила направлена против направления смещения.
Шаг 2. Что такое «недеформированное положение»?
Это длина пружины, когда на неё ничего не действует — ни грузов, ни растяжения, ни сжатия. Обычно обозначается как x = 0.
Если пружину растянуть на x = 0.1 м, то x положительно.
Если сжать на 0.05 м, то x = –0.05 м (в зависимости от выбора оси).
Но чаще в задачах используют модуль удлинения: |x|, а направление силы определяют отдельно.
Шаг 3. Физический смысл знака «минус»
Знак «–» — это не математическая прихоть, а отражение противодействия.
- Если вы растягиваете пружину вправо (x > 0), она тянет вас влево (F < 0).
- Если сжимаете влево (x < 0), пружина толкает **вправо** (F > 0).
Таким образом, сила упругости всегда стремится вернуть пружину в исходное состояние. Это и есть проявление восстанавливающей силы.
Шаг 4. Пример расчёта силы
Пружина имеет жёсткость k = 200 Н/м. Её растянули на 5 см. Найдите силу упругости.
Дано:
k = 200 Н/м
x = 5 см = 0.05 м
Решение:
Модуль силы: |F| = k * x = 200 * 0.05 = 10 Н
Направление: против растяжения.
Ответ: сила упругости равна 10 Н, направлена к положению равновесия.
Шаг 5. Как найти жёсткость пружины?
Если к пружине подвесить груз массой m, она растянется до тех пор, пока сила упругости не уравновесит силу тяжести:
k * x = m * g
Отсюда:
k = (m * g) / x
Пример: груз 0.5 кг растянул пружину на 0.1 м.
k = (0.5 * 9.8) / 0.1 = 4.9 / 0.1 = 49 Н/м
Шаг 6. Границы применимости закона Гука
Закон Гука выполняется только при малых деформациях, пока материал не выходит за предел упругости.
Если пружину растянуть слишком сильно:
- она может остаться деформированной (пластическая деформация),
- или даже порваться.
В таких случаях сила уже не пропорциональна x, и закон Гука не работает.
Шаг 7. Связь с потенциальной энергией упругости
Пружина, деформированная на x, обладает потенциальной энергией:
Eₚ = (1/2) * k * x²
Эта энергия может превратиться в кинетическую — например, при запуске игрушечной машинки.
Шаг 8. Применение в реальной жизни
- Весы пружинные: удлинение пропорционально массе груза.
- Амортизаторы: пружины смягчают удары, поглощая энергию.
- Механические часы: пружина накапливает энергию и постепенно отдаёт её.
- Сейсмографы: регистрируют колебания земли через движение груза на пружине.
Шаг 9. Формулы для копирования
- F = –k * x
- |F| = k * |x|
- k = (m * g) / x (при подвесе груза в равновесии)
- Eₚ = 0.5 * k * x²
Понимание закона Гука — это ключ к освоению колебаний, упругости и даже волн. Без него не было бы ни точных измерений массы, ни комфортных автомобилей, ни пружинных игрушек. А теперь представьте: вы тянете за резинку на маске, и вдруг думаете: «Сила упругости прямо пропорциональна удлинению!» Вы не раздражены — вы проводите эксперимент по физике упругости. Прохожий спрашивает: «Что делаешь?» — а вы серьёзно отвечаете: «Калибрую коэффициент жёсткости». Он кивает с уважением… и чуть быстрее обходит вас стороной.