Чтобы понять это правило, нужно увидеть два ключевых уровня: наглядный смысл и математическое доказательство.
Уровень смысла: "Сколько раз оно помещается?"
Представьте, что у вас есть 2 целые пиццы. Вы нарезаете их на кусочки размером в полпиццы (1/2).
Вопрос: Сколько таких кусочков у вас получится?
Решаем: 2 ÷ (1/2)
- Мы спрашиваем: "Сколько раз 1/2 (половина) содержится в 2 целых?"
- В одной пицце 2 половины. Значит, в двух пиццах — 4 половины.
- Ответ: 4.
Что мы сделали по вычислениям? Мы умножили 2 на 2.
2 ÷ (1/2) = 2 * 2 = 4
Откуда взялась вторая двойка? Это и есть перевернутая дробь 1/2.
1/2 → 2/1 = 2
Вывод: Деление на 1/2 дало тот же результат, что и умножение на 2/1.
Математический уровень: как убрать "дробь в знаменателе"
Теперь докажем это для любых чисел. Возьмем пример: a ÷ (b/c)
- Запишем деление в виде дроби:
a ÷ (b/c) = a / (b/c) - Теперь у нас есть дробь, где в знаменателе стоит другая дробь (b/c). Это неудобно.
- Избавимся от дроби в знаменателе. Самый надежный способ — умножить и числитель, и знаменатель нашей большой дроби на одно и то же число, чтобы знаменатель стал равен 1. Этим числом будет (c/b) — перевернутая дробь от знаменателя.Умножаем числитель: a * (c/b)
Умножаем знаменатель: (b/c) * (c/b) - Считаем, что получилось в знаменателе:
(b/c) * (c/b) = (b * c) / (c * b) = 1 - Отлично! Дробь в знаменателе исчезла.
- Смотрим на итог:
У нас осталось (a * c/b) / 1, что равно просто a * (c/b).
Финальный результат:
a ÷ (b/c) = a * (c/b)
Мы начали с деления на (b/c), а закончили умножением на (c/b). Правило доказано.
Итог и простая памятка
Ключевые идеи:
- Смысл деления — это всегда вопрос "сколько раз делитель помещается в делимом?". Деление на число, меньшее 1 (как большинство дробей), всегда дает результат больше делимого. Поэтому логично, что действие превращается в умножение.
- Математическая суть — это избавление от сложного знаменателя путем умножения на обратное число.
Правило:
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, у которой числитель и знаменатель поменяны местами.
Примеры:
- 6 ÷ (2/3) = 6 * (3/2) = 18/2 = 9
- (1/2) ÷ (3/4) = (1/2) * (4/3) = 4/6 = 2/3