Начну с определения термина фрактальная геометрия. Так называется область математики, изучающая геометрические фигуры (фракталы), которые повторяют свою структуру на различных уровнях масштаба. В отличие от классических евклидовых фигур (прямых линий, треугольников, квадратов), фракталы позволяют описывать сложные природные объекты - от ветвей деревьев до береговых линий и облаков. И тут самое интересное. А почему так?
Хм, ну если вы следите за моими видео, то заметили, что я, в некотором смысле, фанат теории симуляции. Нет, не настолько, чтобы считать эту идею самой правильной и главенствующей. Но полагаю, что подходы иногда очень даже применимы. Она описывает мир как некоторую математическую модель и сродни сюжету легендарной Матрицы.
Этот подход исключает споры про математичность физики. Просто всё, что там происходит - это следствие работы именно математики. Физические явления, например, описаны формулами и им подчиняются. И мы часто видим, что примерно так это и работает. Например, все вы знаете про золотое сечение и помните, что совершенно случайно многие объекты именно такие. Это пример фракталоподобного поведения.
Также это и работает с фракталами. Поскольку фрактальная геометрия не является частным случаем «нормальной геометрии», скорее наоборот. «Нормальная» геометрия, такая как конусы, плоскости, сферы, параллелепипеды, полигональные сетки, линии и т.д., представляет собой особый случай фрактальной геометрии. Это тот редкий случай, когда масштабная компонента их симметрии равна нулю. Следовательно, их фрактальная размерность равна целому числу.
В общем случае объект с любым видом симметрии будет включать в себя некоторую величину масштаба в симметрии, а его фрактальная размерность обычно будет иметь некоторое действительное (но не целочисленное) значение.
Итак, вместо того, чтобы реальный мир был несовершенной версией человеческих представлений, таких как прямые линии и сферы, наше неполное представление о геометрии было несовершенной абстракцией реального мира. Как только мы осознали, что большая часть геометрии фрактальна (а не евклидова), мы внезапно оказались на одной волне с природой. Искусственные линии, грани и рёбра уступили место математическим описаниям трещин, деревьев, папоротников, гор, облаков и т. д.
Фракталы, встречающиеся в природе, на самом деле имеют лишь небольшое количество уровней. Масштабы размеров в природе могут варьироваться от 10^9 метров до 10^-12 метров, прежде чем достигнут размера Земли или атома. Это всего 21 порядок величины, и если каждое повторение уменьшается на порядок, то мы получаем внешний предел. А для большинства объектов (например, масштаба горы или растения) он будет гораздо меньше.
Мы говорим о фракталоподобном поведении, а не о самих фракталах. Фракталы - это просто удобный инструмент для описания (например, для компьютерного моделирования). А при компьютерном моделировании вам в любом случае потребуется всего несколько итераций, прежде чем вы достигнете предела своих возможностей увидеть или визуализировать объект.
Фракталоподобное поведение всё ещё требует объяснения. Оно обусловлено множеством различных явлений, действующих схожим образом в разных масштабах.
Возьмем, например, вот это существо из примера про золотое сечение. У этой структуры тот же самый самоподобный масштабный коэффициент, хотя она и не является фракталом. Это просто логарифмическая спираль: она непрерывно применяет одно и то же правило («строить оболочку чуть большего размера под определённым углом») по мере роста. Подобная спираль встречается во многих местах в природе: это хороший способ плотной упаковки и размещения растущего организма с помощью очень простого правила.
Ландшафты, как известно, «фрактальны», но это не совсем так. Воздействующие на них силы природы (штормы, эрозия, ветер и т. д.) проявляются во всех масштабах, подчиняясь степенному закону (множество мелких, несколько крупных). Это создаёт изломы и фрагменты по всему спектру размеров. Степенной закон определяет степень дробного измерения, хотя, как и прежде, только для соответствующих масштабов. Степенные законы — распространённые побочные продукты распределений Парето: чем дольше что-то существует, тем дольше оно, вероятно, сохранится. Это приводит к самоподобному поведению во многих масштабах.
С этой точки зрения, понятие фракталов в природе не представляет собой такой уж загадки. Небольшой набор базовых явлений распределён схожим образом в широких, но далеко не бесконечных масштабах, и в этом диапазоне наблюдается фрактальное поведение.
⚡ Ещё больше интересного в моём Telegram!
Хочется помочь проекту? Просто поставьте лайк 👍 и подписывайтесь на канал ✔️! Напишите комментарий и поделитесь статьёй с друзьями