Или кое что из жизни Волн и Констант в Квантовой Теории Поля
Эпиграф: " Когорты Рима , императорского Рима , за горизонт распространяют этот Рим"
Название этой статью , равно как и эпиграф взяты мной из романа А.Бушкова
"Охота на пиранью" , хотя всякого рода "бульварное чтиво" читаю довольно редко (времени жалко). Итак почему такие название и эпиграф ? Потому , что речь пойдет о волнах , входящих на бесконечность (или стремящихся к нулю , что в принципе вещи одного плана , в математическом смысле) . Кроме того тут будут использоваться константы "е" , "φ" , "π" ( то бишь экспонента - число "е" , золотое сечение - число "φ" , число "π" , известное ещё со школы) .
Обозначения:
Х^2 это "Х" в квадрате
sin(x*pi/2) это синус от аргумента "Х" , умноженного на "π" и разделенного на 2
sin(x)=(exp(ix)-exp(-ix))/2i
В серьёзной физике волны обычно описываются через экспоненту , но тут для простоты я буду использовать синус .
✓5 это корень квадратный из 5
Краткое напоминание:
φ есть решение уравнения Х^2-Х-1=0 (или , что то же самое Х-1/Х=1)
Для точности тут имеются два решения , а именно "φ" и (1-φ) , где φ=(1+✓5)/2
Это уравнение будем называть уравнением "+" золотого сечения , а уравнение
Х^2+Х=1 будем называть в дальнейшем уравнением "-" золотого сечения , т.к.
его корни это соответственно "-φ" и (φ-1)
Рассмотрим две функции
Y(x)=x*sin(x*pi/2) и Y(x)=(sin(x*pi/2))/x
и запишем для них уравнения типа золотого сечения
Y^2-Y=1 и Y^2+Y=1
Графики даны ниже
или в тригонометрических координатах
Для второй функции соответственно
Замечание:
Экстремумы этих кривых "плывут" т.е. смещаются при Х=πφ+2N , в первом случае когда N стремится к нулю , а во втором случае когда N стремится к бесконечности .
Это хорошо видно на следующем графике
Замечание:
Кстати этот график можно брать как иллюстрацию к процессу формирования "волн-убийц" в океане .
Таким образом значение Х=πφ является предельным значением для точного положения экстремума обеих функций .
А вот теперь рассмотрим интересный случай:
Зафиксируем амплитуды функций значением "φ" , первом случае и "1/φ" во втором случае и посмотрим что получится
И ещё
Получается, что графики для "+" и "-" уравнения золотого сечения будут отличаться только сдвигом по фазе (что не удивительно т.к. sin функция знакопеременные и можно одним графиком описать сразу оба уравнения золотого сечения) . Интереснее другое - только при такой фиксации амплитуд графики для первой (возрастающей) и второй (убывающей) функции будут пересекаться в точках Х=1
и Х=-1
Приравняем уравнения для возрастающей и убывающей функций и получим графики уравнений 4-й степени в точках Х=1 и Х=-1
Эти две кривые показывают , что действительные корни уравнения Х^4-Х^3-Х-1=0 это X=φ , X=1-φ , а уравнения Х^4+Х^3+Х-1=0 это Х=-φ , Х=φ-1 , при этом их мнимые корни совпадают , это Х=-i , X=+i
(сравните вещественную/пространственную ось и мнимую/временную ость в пространстве Минковского в теории относительности) .
Проиллюстрируем это для Волн на плоскости т.е. когда задействованы две переменных "Х" и "Y" .
Замечание:
Для замкнутых (синих) кривых действует правило - на каждой кривой укладывается целое числ длин волн (сравните с орбитами Бора в атоме)
Синие кривые - подчиняются сферической (Римановой) геометрии , зелёные кривые имеют гиперболическую геометрию (Лобачевского) . Где то я уже писал , что геометрия микромира должна быть сферической , а геометрия макромира гиперболической (сравните с теорией относительности Эйнштейна ) .
Почему в заголовке статьи я говорил о Квантовой теории Поля ? Да просто в ней все эл.частицы описываются как волны - волновое возмущение физического вакуума , а тут вся статья о волнах .
Ещё интереснее будет когда попробуем построить квадратичный функции
Получим красивую фрактальную картину для синих (замкнутых) кривых и пограничные (между микро- и макромиром) линии +1 и - 1 по обеим осям .
Замкнутые кривые можно интерпретировать как частицы (струны) , которые могут быть как внутри атома/эл.частицы так и во "внешнем" ( нашем ) макромира .
Выводы:
Для функций вида
Y=(x*sin(x*pi/2))^2-x*sin(x*pi/2)-1
Y=(sin(x*pi/2)/x)^2-sin(x*pi/2)/x-1
экстремумы плавают около значений X=x*pi+2*N
При этом для возрастающей функции предел будет при N стремящемся к нулю , а для убывающей функции предел будет при N стремящемся к бесконечности (предельное значение в обоих случаях Х=x*pi) , сравните с Квантовой механикой , где частицы описываются волновыми пакетами , состоящими из волн с близкой частотой .
Для этих же функций (убывающей и возрастающей) существует только одно решение когда они будут иметь постоянную максимальную амплитуду , т.е. образуют аналог стоящей волны с амплитудами φ и 1/φ (если брать другие значения амплитуды, то получим значение синуса больше 1) Эти волны будут иметь экстремумы только в чистых Χ=x*pi+2*N (сравните со стабильными орбитами атома Бора)
И последнее - эта модель допускает расширение на 6 измерений , если Х брать как функцию Х(а,в,с) Т.е. для трёх пространственных измерений , тогда и время можно брать в трёх измерениях Т(i,j,k) , где
i,j,k это мнимые единицы (их квадраты равны минус единице) .
С уважением , Кот Шредингера 30.09.2025.