Метод конечных элементов (МКЭ) в строительстве - численный метод анализа напряжённо-деформированного состояния элементов конструкций, расчётов на прочность, жёсткость и устойчивость. решения дифференциальных и интегральных уравнений, возникающих при математическом моделировании.
(МКЭ - численный метод решения дифференциальных и интегральных уравнений, возникающих при математическом моделировании)
МКЭ используется для решения сложных задач математической физики и инженерного анализа, таких как расчет напряжений, деформаций, теплопередачи, течения жидкостей и других физических процессов. Он применяется в механике, строительстве, аэродинамике, гидродинамике и других дисциплинах благодаря развитию информационных технологий.
МКЭ - способ приближённого решения некоторых дифференциальных уравнений, которыми описывается точная постановка задачи - поэтому, следует понимать, какими свойствами обладают эти дифференциальные уравнения и к каким результатам могут приводить их решения.
МКЭ относится к методам анализа конструкций. Подробнее с методами анализа конструкций можно ознакомиться здесь:
Идея метода (Суть МКЭ)
Метод конечных элементов заключается в представлении сложной области (непрерывного тела) (например, конструкции или физической системы) в виде совокупности более простых частей (подобластей) (участков) - конечных элементов (КЭ), после чего, вместо решения уравнений для всей области сразу, задача решается для каждого элемента (для каждого участка заранее задается вид искомой функции внутри этого участка), а затем результаты объединяются с учётом их взаимодействия.
(Используется дробление области поиска решения на малые участки (конечные элементы) и заранее задаётся вид искомой функции внутри каждого рассматриваемого участка)
(Конструкция, представляющая собой некоторое сплошное тело, аппроксимируется дискретной моделью, состоящей из типовых элементов конечных размеров - КЭ)
(Суть метода - аппроксимация непрерывной функции (например, температуры, перемещения, напряжения) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определённых на конечных элементах.)
Конечный элемент (КЭ) - часть рассматриваемой области (часть тела) в совокупности с заданными в ней аппроксимирующими функциями.
Конечные элементы предсталяют собой, например, одномерные элементы, треугольники, четырехугольники в 2D или тетраэдры, гексаэдры в 3D (подробнее - ниже). Эти элементы соединяются в узлах, образуя сетку (мэш).
Каждый элемент описывается приближённой функцией, значения которой в узлах элемента - её решение и заранее неизвестны (интересующая незвестная величина - например, перемещения точек тела, напряжения или др.).
Считается, что конечные элементы взаимодействуют друг с другом только в узлах и определяемая величина является общей для контактирующих с узлом точек всех элементов, которые соединены с этим узлом.
Для решения в перемещениях выбирают совокупность аппроксимирующих функций, которые позволяют приближённо представить поле перемещений внутри конечного элемента по известным узловым перемещениям.
Удобно выбирать функции формы - такие аппроксимирующие функции, которые принимают едининое значение в некотором узле и нулевое значение во всех остальных узлах элемента.
МКЭ - способ приближённого решения некоторых дифференциальных уравнений, которыми описывается точная постановка задачи - поэтому, следует понимать, какими свойствами обладают эти дифференциальные уравнения и к каким результатам могут приводить их решения.
Преимущества и недостатки МКЭ
Преимущества МКЭ:
- Позволяет решать задачи со сложной геометрией, неоднородными материалами (свойства материалов смежных элементов не должны быть обязательно одинаковыми) и нелинейными эффектами
- Высокая точность при правильном выборе сетки и функций
Криволинейная область может быть аппроксимирована с помощью прямолинейных элементов или описана точно с помощью криволинейных элементов. Размеры элементов могут быть переменными, что позволяет укрупнить или измельчить сеть разбиения области на элементы, если в этом есть необходимость.
- Универсальность: применим к разным физическим задачам.
Недостатки МКЭ:
- Высокая вычислительная сложность, особенно для больших моделей
- Требует качественной сетки: слишком грубая сетка снижает точность, а слишком мелкая увеличивает время расчетов
- Необходимость в специализированном ПО
Точное решение задачи с помощью МКЭ удаётся сделать не всегда. Например, точное решение задачи с помощью МКЭ, при решении в перемещениях, можно получить, если в качестве функций формы использовать функции, которые по известным узловым перемещениям определяют точное (соответствующее уравнениям теории упругости или сопротивления материалов) распределение перемещений внутри конечного элемента, что удаётся сделать не всегда.
Математический аппарат МКЭ
В основе метода конечных элементов лежит вариационный принцип, который позволяет свести решение дифференциальных уравнений к минимизации некоторого функционала. Для задач механики деформируемого твердого тела этот функционал часто представляет собой полную потенциальную энергию системы.
Процесс формирования математической модели:
- Формулировка исходной задачи в виде дифференциального уравнения с граничными условиями
- Получение вариационной (слабой) формы исходного уравнения
- Дискретизация области на конечные элементы
- Аппроксимация искомой функции через функции формы
- Формирование локальных матриц и векторов для каждого элемента
- Ансамблирование глобальной системы уравнений
- Учет граничных условий
- Решение системы уравнений
- Анализ и интерпретация результатов
Численные методы, используемые в МКЭ
Реализация МКЭ тесно связана с применением различных численных методов для решения систем уравнений и других задач:
- Метод Гаусса
Применение: Решение систем линейных уравнений
Особенности: Точный, но требователен к памяти и вычислительным ресурсам для больших систем
- Метод LU-разложения
Применение: Решение систем линейных уравнений
Особенности: Эффективен при многократном решении с разными правыми частями
- Метод сопряженных градиентов
Применение: Итерационное решение больших разреженных систем
Особенности: Требует меньше памяти, чем прямые методы, но может медленно сходиться
- Метод Ньютона-Рафсона
Применение: Решение нелинейных задач
Особенности: Квадратичная сходимость вблизи решения, но требует вычисления якобиана
- Метод Рунге-Кутты
Применение: Интегрирование по времени для динамических задач
Особенности: Высокая точность, устойчивость зависит от порядка метода
- Метод Ньюмарка
Применение: Интегрирование уравнений динамики
Особенности: Широко используется для задач структурной динамики
- Метод Гаусса-Лежандра
Применение: Численное интегрирование при вычислении матриц элементов
Особенности: Высокая точность для полиномиальных функций
Основные типы конечных элементов
Выбор типа конечных элементов существенно влияет на точность результатов и эффективность вычислений. Для моделирования конструкций используются следующие виды конечных элементов:
Для моделирования конструкций используются следующие виды конечных элементов:
1) Одномерный элемент (1D)
Представляет собой элемент, имеющий только один размер - длину
- Тип элемента: Стержневые (1D)
Применение: Моделирование балок, ферм, стержневых систем
Особенности: Простые и эффективные для структурного анализа каркасных конструкций
2) Двумерный (плоский) элемент (2D)
Представляет собой трёх- или четырёхугольный элемент.
- Треугольные (2D)
Плоская задача теории упругости, задачи теплопроводности
Гибкие для сложной геометрии, менее точные чем четырехугольные
- Четырехугольные (2D)
Плоская задача теории упругости, задачи теплопроводности
Более точные, чем треугольные, но менее гибкие для сложной геометрии
- Оболочечные
Тонкостенные конструкции, листовые материалы
Эффективны для моделирования конструкций с толщиной много меньше других размеров
3) Пространственные трёхмерные элементы (3D)
Представляют собой четырёх-, пяти- или шестигранные тела
- Тетраэдрические (3D)
Трехмерный анализ твердых тел
Гибкие для сложной геометрии, но требуют более мелкой сетки
- Гексаэдрические (3D)
Трехмерный анализ твердых тел
Более точные, чем тетраэдрические, но сложнее в построении для нерегулярной геометрии
4) Специальные конечные элементы, моделирующие контакт двух тел или зазор, пружины, канаты, мембраны и др.
- Специальные (контактные, когезионные и т.д.)
Моделирование контакта, трещин, соединений
Требуют специальных алгоритмов и более сложны в настройке
Элементы также различаются по порядку аппроксимации:
- Элементы первого порядка (линейные) — используют линейные функции формы, имеют узлы только на вершинах
- Элементы второго порядка (квадратичные) — используют квадратичные функции формы, имеют промежуточные узлы на ребрах или гранях
- Элементы высших порядков — обеспечивают более высокую точность за счет более сложных функций формы.
Поле деформаций плоских и пространственных элементов описывается приближённо, линейными или квадратичными функциями, поэтому чем мельче разбивка конечно-элементной модели, тем точнее получается расчёт напряженно-деформированного состояния (обычно, но не всегда).
Для инженерных целей расчётные напряжения могут находить как средние по конечному элементу. Поэтому размер конечных элементов целесообразно выбирать в зависимости от того, какая степень детализации напряженного состояния требуется для используемого критерия работоспособности.
Пример выбора элементов: для моделирования тонкостенного сосуда под давлением оптимально использовать оболочечные элементы, так как они хорошо описывают напряженно-деформированное состояние тонких стенок и требуют меньших вычислительных ресурсов по сравнению с трехмерными элементами. Однако для зоны соединения патрубка с корпусом, где концентрируются напряжения, лучше использовать трехмерные элементы (гексаэдрические или тетраэдрические) с более мелкой сеткой.
Граничные условия и нагрузки
Граничные условия – условия, задаваемые на границе расчётной области (силы, перемещения, тепловые потоки и т.д.).
Корректное задание граничных условий и нагрузок - критический аспект МКЭ-моделирования. Некорректное задание граничных условий - одна из наиболее распространенных ошибок в МКЭ-моделировании. Избыточные или недостаточные ограничения могут привести к нереалистичным результатам или численной нестабильности.
Основные типы граничных условий
- Граничные условия первого рода (Дирихле) - задают значения искомой функции на границе (например, заданные перемещения, температуры)
- Граничные условия второго рода (Неймана) - задают значения производной искомой функции на границе (например, силы, тепловые потоки)
- Граничные условия третьего рода (Робина) - задают линейную комбинацию значения функции и ее производной (например, конвективный теплообмен)
- Условия контакта - определяют взаимодействие между телами или частями тела
- Условия симметрии и циклической симметрии - позволяют моделировать только часть симметричной конструкции.
Типичные нагрузки, моделируемые в МКЭ
- Сосредоточенные силы - приложены в узлах
- Распределенные силы - приложены по линии, поверхности или объему
- Давление - действует нормально к поверхности
- Тепловые нагрузки - температура, тепловой поток, внутренние источники тепла
- Кинематические нагрузки - заданные перемещения
- Инерционные нагрузки - ускорения, в том числе гравитационные
- Предварительные напряжения и деформации - начальные условия для расчета.
Интерпретация результатов расчета
Правильная интерпретация результатов МКЭ-анализа требует понимания как физики моделируемого процесса, так и особенностей метода.
Ключевые аспекты:
Первичные и вторичные результаты - первичные результаты (перемещения, температуры) обычно более точны, чем вторичные (напряжения, деформации, тепловые потоки), которые получаются дифференцированием.
Оценка точности - анализ сходимости при измельчении сетки, сравнение с аналитическими решениями для простых случаев, оценка баланса энергии;
Сингулярности - в точках концентрации напряжений (острые углы, вершины трещин) численное решение может показывать неограниченный рост напряжений при измельчении сетки, что физически некорректно;
Усреднение результатов - из-за разрывов в производных на границах элементов напряжения часто усредняются для получения более гладкого решения;
Визуализация - использование контурных графиков, векторных полей, деформированных конфигураций для наглядного представления результатов.
Пример интерпретации: При анализе напряженного состояния вблизи отверстия в пластине максимальные напряжения будут локализованы по краям отверстия. Теоретически, для идеально острого угла, напряжения стремятся к бесконечности. В МКЭ мы получим большие, но конечные значения, зависящие от размера сетки. Для практической оценки следует использовать не пиковые значения в отдельных узлах, а усредненные напряжения в некоторой зоне или применять критерии механики разрушения.
Верификация и валидация расчетных моделей
Верификация и валидация - необходимые этапы для обеспечения достоверности МКЭ-расчетов.
Верификация - проверка корректности реализации математической модели, то есть определение, правильно ли решаются уравнения.
Методы верификации:
- Сравнение с аналитическими решениями для простых задач
- Проверка сходимости при измельчении сетки
- Проверка выполнения фундаментальных законов (сохранение массы, энергии, импульса)
- Тесты на сетках с известным решением
Валидация - проверка соответствия модели реальному физическому процессу, то есть определение, решаются ли правильные уравнения.
Методы валидации:
- Сравнение с экспериментальными данными
- Сравнение с результатами, полученными другими методами
- Анализ чувствительности к изменению параметров модели
- Экспертная оценка физичности результатов
👷♂️ Если есть какие-либо вопросы или предложения - пишите.
