Все инженеры докомпьютерного периода владели важным инструментом, который позволял выполнять расчеты с помощью логарифмической линейки. Простейший прибор был на столе или в портфеле у каждого.
Логарифмическая линейка представляет собой простой механический вычислительный прибор, который широко использовался до появления электронных калькуляторов и персональных компьютеров. Она позволяла эффективно решать широкий спектр математических задач, включая операции умножения, деления, возведения чисел в степень и извлечения корней. Основной принцип работы логарифмической линейки основан на свойствах логарифмов, позволяющих преобразовать умножение и деление в гораздо более удобные для механических расчетов процедуры — сложение и вычитание соответственно.
История возникновения и распространения логарифмической линейки
Изобретённая ещё в XVII веке шотландским математиком Джоном Непером и разработанная позднее инженерами разных стран, логарифмическая линейка стала незаменимым инструментом инженеров, учёных и студентов вплоть до второй половины XX века. Этот компактный аналоговый компьютер представлял собой шкалу, нанесённую на деревянную, металлическую или пластиковую поверхность. Линейка состояла из двух основных частей: неподвижной основы и подвижной части («бегунка»), перемещаемой вдоль основания вручную. Дополнительная прозрачная планка с указательной чертой обеспечивала удобство считывания результатов.
Принцип действия логарифмической линейки
Основной идеей устройства является применение свойств логарифма, согласно которым произведение чисел равносильно сумме их логарифмов, а частное соответствует разности логарифмов. Шкала логарифмической линейки содержит значения логарифмов натуральных чисел, расположенных таким образом, чтобы сумма или разность соответствующих величин на шкале соответствовала произведению или отношению исходных чисел.
Умножение чисел
Чтобы перемножить два числа с помощью логарифмической линейки, необходимо совместить нулевую отметку бегунка с первым числом на основной шкале, после чего найти второе число на шкале бегунка и считать результат напротив соответствующей отметки на основной шкале.
Например, для умножения чисел $a$ и $b$, мы размещаем начало бегунка над числом $a$, затем находим на бегунке значение $b$. Результат произведения будет находиться непосредственно под значением $b$.
Формально этот процесс выглядит следующим образом:
[\log(ab)=\log a+\log b]
где $\log ab$ можно определить по положению относительно шкал на линейке.
Деление чисел
Для выполнения операции деления нужно установить начало бегунка напротив второго числа (делителя), а затем прочитать результат под первым числом (делимым). Таким образом, осуществляется переход от отношения к разности логарифмов:
[\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log a-\log b],
что позволяет легко находить искомое отношение через простое передвижение бегунка.
Возведение в степень и извлечение корня
Возведение числа в произвольную степень также осуществлялось путём многократного перемещения бегунка. Например, возвести число $a$ в квадрат означало дважды сдвинуть бегунок от начальной точки до числа $a$, получая результат прямо противоположный итоговому положению.
И наоборот, извлечение квадратных корней производилось обратным способом — путем разделения промежутков между началом шкалы и заданным числом пополам.
Обобщённо говоря, операцию возведения в степень можно выразить формулой:
[\log(a^n)=n\cdot\log a,]
а извлечение корня n-й степени — обратной ей:
[\log\sqrt[n]{a}=\frac{\log a}{n}]
Точность расчётов и ограничения логарифмической линейки
Несмотря на высокую эффективность, точность вычислений на логарифмической линейке ограничивалась количеством знаков на её шкалах. Обычно она составляла около трёх-четырех десятичных знаков точности, что достаточно для большинства инженерных и научных приложений прошлого столетия. Однако некоторые специфичные задачи могли требовать большей точности, и тогда использовались другие методы, например таблицы логарифмов или специализированные формулы приближённых вычислений.
Заключение
Логарифмическая линейка была важным этапом развития вычислительной техники, сыгравшим ключевую роль в развитии науки и инженерии. Её широкое распространение в учебных заведениях и профессиональной среде способствовало популяризации знаний о свойствах логарифмов и упрощению трудоёмких математических процедур. Хотя современные электронные инструменты практически вытеснили использование логарифмических линеек, понимание принципов их работы остаётся актуальным для историков науки и тех, кто интересуется развитием технологий вычислений.
Использование логарифмической линейки при курсовом и дипломном проектировании
Инженерная подготовка включает изучения ряда дисциплин, где требовалось выполнять более сотни расчетов. Например, при написании курсового проекта по «Теория механизмов и машин», «Детали машин», «Двигатели внутреннего сгорания», «Подъемно-транспортгые машины» и других требовалось перемножать и делить до 20-40 разных чисел.
Поэтому перед самим расчетом выписывалась формула, а потом подставлялись значения. Сам расчет в умелых руках занимал около полутора-двуз минут. Сложнее было с определением порядка (нулей после или до запятой). Но и эта задача решалась легко: при перемещении бегунка вправо размерно возрастала, а при движении влево — уменьшалась.
Пользуясьлогарифмической линейкой, а также методами числовых решений дифференциальных уравнений, решались и более сложные задачи. Например, динамика взлета самолета или ракеты, процесс полета тела при наличии сопротивления воздуха и другие задачи.