Логарифмом числа y по основанию x является степень, в которую надо возвести положительное и отличное от единицы число x для получения положительного числа y: log x (y). Так, логарифм 9 по основанию 3 равен 2, следовательно: 3 в степени 2 равно 9 (3^2=9). Логарифм единицы по любому основанию всегда равен нулю.
Логарифмирование находит широкое применение в математических расчётах, в том числе финансовых. Чаще всего в качестве основания берётся число «e», иногда называемое числом Эйлера или Непера, равное 2,71828. В этом случае логарифм называется натуральным и записывается как ln.
Удобство сопоставления доходностей
Одной из побочных задач анализа временных рядов является переход от натуральных к относительным величинам, характеризующим динамику процесса. Для решения этой задачи чаще всего используют цепные индексы и/или проценты. Рассмотрим в качестве примера динамику цены акции в течение торговой недели на бирже.
Например, если цена акции за вторник выросла с 200 до 210 рублей, то индекс цены будет равен отношению актуального значения цены к её предыдущему значению: 210 / 200 = 1,05 (единиц измерения индекс не имеет).
От индексного исчисления легко можно перейти к процентному. Для этого из величины индекса нужно вычесть единицу: 1,05 – 1 = 0,05 (или 5%, если умножить 0,05 на 100%) Полученное значение, 0,05 или 5%, называют доходностью за день или дневной доходностью.
Если в среду цена акции снизится с 210 обратно до 200 рублей, то показатель дневной доходности составит 200 / 210 –1 = -0,048 или -4,8%.
Легко заметить, что абсолютное (то есть по модулю) значение прироста цены одинаково и равно 10 рублей: +10 рублей за вторник и -10 рублей за среду, – однако дневные доходности заметно различаются.
Для устранения этой разницы удобно использовать процедуру логарифмирования, взяв натуральный логарифм от индекса каждого дня: ln(1,05) и ln(0,9524). Соответствующие значения для вторника и среды равны 0,0488 и -0,0488. Таким образом, равным по модулю значениям прироста цены акции соответствует равные по модулю величины темпов прироста.
Простота подсчёта доходности за период
Чтобы подсчитать доходность акции за неделю, можно использовать разные способы:
1) разделить цену закрытия пятницы на цену закрытия понедельника: 205 / 200 * 100% = 2,5%;
2) перемножить индексы цены за каждый день и вычесть единицу: (1,05 * 0,9524 * 0,975 * 1,0513 – 1) * 100% = 2,5%;
3) перевести дневные доходности в индексы (путём прибавления единицы к каждому значению доходности) и перемножить их, а затем из полученного произведения вычесть единицу: ((1 + 0,05) * (1 – 0,0476) * (1 – 0,025) * (1 + 0,0513) – 1) * 100% = 2,5%.
Как видно, переход от дневных доходностей, выраженных в процентах, к доходности за более длинный промежуток времени ресурсоёмок. Но этот процесс можно значительно упростить, используя логарифмирование.
Согласно одному из свойств логарифмов, log x (a/b) = log x (a) – log x (b). Поэтому для определения доходности за неделю можно также просуммировать логарифмированные дневные доходности: 0,0488 – 0,0488 – 0,0253 + 0,05 = 0,0247.
Следует помнить, что логарифм доходности всегда меньше, чем истинное значение доходности. Поэтому, чтобы перевести логарифмированную доходность, рассчитанную на основе натурального логарифма, в процентную, необходимо возвести число e в степень, равную рассчитанному выше значению: e^0,0247 = 2,71828^0,0247 = 0,025 или 2,5%.
Логарифмирование доходностей является широко распространённой практикой проведения финансовых расчётов, направленных, например, на формирование оптимального с точки зрения соотношения риска и доходности инвестиционного портфеля или оценку эффективности этого портфеля на фоне изменяющейся конъюнктуры финансового рынка.