Существует множество позиционных систем счисления. Позиционная система счисления определяется основанием, в качестве которого можно использовать произвольное целое число q > 1. Алфавитом позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0, 1, q — 1, каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является 0.
В позиционной системе счисления с основанием q любое неотрицательное целое число может быть представлено в виде
Aq = an-1 • qn-1 + an-2 • qn-2 + a0 • q0 (1)
Здесь:
А — число;
q — основание системы счисления;
аi — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n— количество разрядов числа;
qi — «вес» i-ro разряда.
Запись числа по формуле (1) называется развёрнутой формой записи. Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде an-1 an-2 … a1a2
Пример:
Рассмотрим десятичное число 4351. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:
4 • 103 + 3*102+5*101+1* 10°.
Чтобы перевести число из позиционной системы счисления с основанием q в десятичную систему счисления, необходимо записать исходное число в развёрнутой форме и вычислить значение получившегося арифметического выражения.
Пример:
Переведём в десятичную систему счисления число 1423, представленное в системе счисления с основанием 5.
Построим развёрнутую запись числа 1423:
Вычислим значение выражения:
1 • 53 + 4 • 52 + 2 • 51 + 3 • 5° = 125 + 100 + 10 + 3 = 238.
Итак, 14235 = 23810.