Всем привет!
В сегодняшнем выпуске я хочу поднять (или опустить) крайне животрепещущую тему, а именно - тему трёхмерных мозаик. Точнее, можно ли заполнить пространство плотно, без пустот, какими-то объёмными телами, отличающимися по форме от банального куба и его производных - параллелепипедов?
Оказывается, можно, и ещё как! В том смысле, что реализованная в материале, эта проблема становится отличной головоломкой, развивающей не только объёмно-пространственное мышление, но также логику и прочую комбинаторику.
Впервые я обратился к этой задаче лет несколько назад, а вот совсем недавно приобрёл себе замечательный 3D-принтер и вернулся к ней на новом уровне качества. И количества.
Теперь, помимо разного-прочего, одно из моих любимых домашних занятий - пересмотр своего головоломного портфолио (которое насчитывает порядка 700 разработок!), и самые-самые из них я распечатываю на принтере и наконец-то получил возможность подержать свои детища в руках! А также подарить (или продать!) знакомым и близким! Вот по этой ссылке можно посмотреть мои авторские головоломки, изготовленные методом 3D-печати. Между прочим, каталог этот постоянно пополнятся!
Не понятно по какой причине, но при попытке открыть эту ссылку на мобильном телефоне, выдаётся предупреждение о небезопасности данного мероприятия. Странно. Все мои сайты хостятся на вполне профессиональных хорошо защищённых ресурсах, более того, новые страницы я создаю на основе уже существующих (загружающихся, разумеется, совершенно нормально, без каких-либо предупреждений!), меняя только контент и оформление. А вот поди ж ты! Впрочем, предупреждение появляется лишь один, первый раз. Потом будет всё Ок.
Ладно.
Итак, вот авторская головоломка "8 конгруэнтных I": из восьми совершенно одинаковых октамино необходимо сложить куб 4х4х4. У головоломки единственный вариант решения.
Если складывать эти детальки как попало, то процесс составления куба может затянуться на бесконечно долгое время.
Но давайте включим логику!
Восемь ОДИНАКОВЫХ деталей, каждая из которых состоит из 8-ми единичных кубиков. 8х8=64. Совершенно очевидно, что в собранном виде эти детали должны располагаться каким-то геометрически правильным образом. Как минимум, обладающим симметрией. Поэтому после недолгих поисков сам-собой напрашивается такой вариант сборки нижнего слоя (для удобства восприятия детали разведены в стороны):
Верхний слой собирается аналогично. В смысле - зеркально-симметрично.
Поскольку данная головоломка относится к типу т.н. упаковочных головоломок, то для её хранения необходима коробочка. Которую я тоже напечатал на 3d-принтере.
Через какое-то время я вновь вернулся к этой теме. И, перебрав множество вариантов (если честно, то варианты перебирал компьютер, за что ему большое человеческое спасибо), нашёл ещё пять видов октамино, из которых, взяв их каждого по восемь штук, также можно сложить куб 4х4х4.
Четыре из них собираются аналогично описанному ранее:
То есть из четырёх деталей нужно сложить некий обладающий центральной симметрией "узор", который будет выполнять роль нижнего слоя куба 4х4х4. Верх достраивается симметрично.
А вот последний вариант октамино оказался неожиданно самым трудным! По собственному опыту знаю, что ставит он многих "сборщиков" в тупик основательно и надолго.
Дело в том, что сначала нужно собрать из двух деталей некий базовый модуль, а потом уже из этого модуля собирать куб 4х4х4.
Теперь, надеюсь, понятно, почему я в начале статьи завёл речь про мозаики? Ведь ясно, что, собрав кубик, потом этими кубиками можно совершенно спокойно заполнить любой объём.
...
А вот совсем недавно я распечатывал очередную свою головоломку и как-то нечаянно "тиснул" аж восемь деталей неправильной формы. Ошибся трохи. С кем не бывает?! То есть моделил одно, а получил - совсем даже другое.
И, чтобы не пропадал довольно-таки недешёвый филамент, придумал ещё две разновидности головоломки "Собрать куб 4х4х4 из восьми конгруэнтных деталей". Головоломке я дал вполне назидательное название - "Ошибка III". Между прочим, свою самую первую головоломку я создал также в результате аналогичной ошибки - делал чужую головоломку и напутал. Чтобы не пропадать добру, пришлось придумывать что-то новое Своё...
На фото видно, какая была у меня исходная деталь и куда пришлось приклеивать отдельно распечатанный кубик.
Чтобы получились детали, из которых потом можно было бы собрать куб 4х4х4, единичный кубик можно было приклеить двумя способами. К сожалению, в обоих случаях у головоломок оказалось не по одному решению (у одной - два, а у другой аж целых три!) Ну да что уж теперь!
Чтобы не нарушать целостности своей коллекции, я позже распечатал ещё один экземпляр этой головоломки, но уже без склейки и в едином с предыдущими масштабе.
Думается, что представленные в этой статье мои головоломки могут быть довольно интересным и полезным учебно-методическим пособием на уроках математики. А вы как считаете?
На этом позвольте откланяться. И пусть у вас голова если и болит, то только от моих головоломок!
P.S. Кстати, из всех восьми представленных в этой статье головоломок можно собрать один большой куб размерностью 8х8х8. И уже им заполнять пространство окружающей вас Вселенной. Уловили намёк?