Математика - замечательная «воздушная скульптура», однако часто к ней предъявляют вопрос, который любой математик, наверное, сможет разбить за считанные минуты: «А какой толк от вашей математики? Где её применить?». Пожалуй, тема, в которую мы попытаемся немного копнуть в данном цикле статей, является одной из самых прикладных в математике. Эта тема - дифференциальные уравнения. Не знаю, сколько продлится этот цикл. Приступим!
СОДЕРЖАНИЕ:
+ Уравнения: от недвижимых чисел до подвижных функций
+ Воспоминания о матанализе:
+ + Дифференциал
+ + Дифференцирование
+ + Интегрирование
+ Что такое дифференциальное уравнение?
+ Способы записи дифференциального уравнения
+ Классификация дифференциальных уравнений:
+ + По порядку
+ + По однородности
+ + По линейности
+ Приложения дифференциальных уравнений
+ + Физика
+ + Биология
+ + Геометрия
+ + Прочее
+ Заключение
+ Упражнения для закрепления материала
+ Дополнительные материалы
УРАВНЕНИЯ: ОТ НЕДВИЖИМЫХ ЧИСЕЛ ДО ПОДВИЖНЫХ ФУНКЦИЙ
Прежде чем изучать что-либо в математике, следует вспомнить концепции по-проще. В нашем случае этим «по-проще» являются числовые уравнения.
Что такое числовое уравнение? На самом деле, «с наскока» не так легко может быть ответить на этот вопрос - слишком уж он базовый. Но можно сформулировать всё вот так:
Числовое уравнение есть равенство f(a1, a2, a3, a4, …) = 0, где a1, a2, a3, … - некоторые заранее неизвестные числа.
Решением числового уравнения f(a1, a2, a3, a4, …) = 0 называется последовательность чисел (b1, b2, b3, b4, …), которая при подстановке в числовое уравнение обращает его в верное равенство.
Формальности тут не достаёт, но мы к уравнениям в том числе ради удобной практики обратились.
Но что обозначают уравнения? Ограничимся пока что числовым уравнением с одной неизвестной. Например, что есть x² = x + 1? Что это значит? Какой смысл несёт в себе это уравнение? Хочется сразу сказать с высоты знаний школьной математики: «Это квадратное уравнение с двумя действительными корнями». Но нет. Что по существу нам говорит эта запись? По существу нам говорится: «Решение данного уравнения - некоторое число x такое, что его квадрат на единицу больше самого числа x». То есть,
Числовое уравнение говорит нам о том, какими свойствами должно обладать число(а), чтобы быть решением.
Вот. Это основная суть уравнения - исходя из свойств искомого объекта мы должны найти всех подходящих «кандидатов» на роль решения. Но можем ли мы искать что-то кроме чисел?
С помощью числовых уравнений мы можем искать числа, и это уже довольно неплохо с точки зрения приложений: мы можем находить необходимое количество нужного для задачи N сырья, можем делать расчёты в простейших физических и экономических проблемах. Но, как мы знаем, кроме зависимости от «количественных» и «качественных» характеристик, многие интересующие нас величины (нужное число сырья, концентрация вещества в растворе, координаты точки) зависят ещё и от времени. И когда в нашем поле зрения появляется время, сразу же возникает и понятие скорости, а точнее скорости изменения некоторой величины.
Учёные не были бы учёными, если бы не попробовали поработать и с изменяющимися с течением времени величинами, а математики не были бы математиками, если бы не попытались формализовать выводы учёных.
Итак, предположим, что у нас есть так называемая основная задача механики - определение положения тела в любой заданный момент времени. Предположим, что мы знаем, как сильно и в каких направлениях на тело действуют всевозможные силы. Как нам определить положение тела в зависимости от времени? Ну, очевидно, нам нужно как-то выразить положение тела через время - составить функцию положения от времени. Но как это сделать? Как связать расстояние и силу? Как связать то, как сильно мы толкаем тележку, и то, где она окажется через пару секунд?
Этим вопросом занялся член английского парламента, хранитель Монетного двора и автор одной из первых «теорий всего» в физике - сэр Исаак Ньютон. Все мы со школьной скамьи помним, что сэр Исаак открыл много всего, но именно в физике знамениты три закона имени его и закон всемирного тяготения. Нам сейчас интересен его второй закон. Думаю, знаменитое F = ma помнят почти все. Но что оно означает? Оно означает, что ускорение тела равно равнодействующей всех сил, действующих на него, делённой на массу тела. Но что же такое ускорение? Если бы какая-то величина не описывала в конечном итоге что-то вполне обнаружимое на практике, её бы просто не ввели, особенно во времена Ньютона. Так что же такое ускорение тела? Это скорость изменения скорости тела - то, насколько быстро с течением времени изменяется скорость тела! С формальной стороной вопроса мы разберёмся чуть позже, а сейчас сфокусируемся на том, что только что мы связали какую-то неведомую вещь - силу - с вещью вполне осознаваемой - скоростью.
Хорошо, но вспомним, что наша механическая задача предполагала не просто найти скорость движения тела, а определить конкретное местоположение тела в любой момент времени, а значит и определить его траекторию движения. Что же нам сделать? Ну, мы можем немного подумать, и справедливо сказать, что скорость есть быстрота изменения положения тела с течением времени. И теперь, склеив два определения и второй закон Ньютона вместе, мы можем сказать: «Скорость изменения скорости изменения положения тела равна величине равнодействующей всех сил, действующих на тело, делённой на массу данного тела». В математическом виде мы можем это записать, как F = ma = mv' = mx''.
Это уже совсем отлично - теперь в нашем уравнении появился нужный «x» - как раз координата тела, характеризующая его положение. Но есть две проблемы: во-первых, мы, рассматривая данное уравнение, как числовое, можем найти только x'' = v' = a - ускорение тела, но не сам x - координату тела, во-вторых, нигде в нашей формуле не фигурирует время, как сперва кажется.
Вторая проблема решается легко - достаточно расписать f'_t = df/dt, в нашем случае - F = m * d²x / dt². Отлично теперь в нашей формуле хотя бы есть намёк на участие течения времени в значении координаты тела. Но как нам отсюда «вытащить» интересующий x? Применяя техники решения числовых уравнений мы сможем вывести не более, чем d²x = F/m * dt². Что же делать?
Как мы видим, числовые уравнения уже не справляются в одиночку:
С введением в математическую модель концепции времени мы уже не всегда можем ограничиться числовыми уравнениями - система должна эволюционировать, развиваться.
Именно в таких случаях, когда в уравнении помимо самой функции f имеются и её производные f', f'', f''', … , f^(n), такое уравнение называют дифференциальным. Пока что оставим нашу механическую задачу (и её связь с дифференциальными уравнениями) и обратимся к математической части - к дифференциальным уравнениям, как таковым, и идеям, нужным для их понимания.
ВОСПОМИНАНИЯ О МАТАНАЛИЗЕ
Прежде чем приступить к саим уравнениям, мы вспомним необходимые нам идеи из матанализа на «базовом уровне», поскольку слишком уж глубокое понимание идей нам сейчас не потребуется.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Дифференциал функции f - линейная часть приращения функции. Обозначается df.
Грубо говоря, дифференциал df функции f(x) говорит нам о том, насколько быстрее, а точнее, во сколько раз быстрее увеличивается значение f(x), чем значение x, если к x прибавить некоторую (бесконечно) малую величину dx. То есть, выражение df = k * dx говорит нам о том, что в рассматриваемой точке и небольшой её окрестности, график функции представляет собой прямую с угловым коэффициентом k. Грубо говоря, в при сильном приближении «камеры» к точке (x0, f(x0)) график функции совпадает с графиком касательной к функции f(x) в точке x0.
Как мы можем видеть, график функии (непрерывной и дифференцируемой, конечно же) в некоторой точке стремится к своей касательной.
По сути своей, вся идея с дифференциалами в рассматриваемых уравнениях нам нужна для трёх действий: для замены дифференциалов, для разложения производной на дифференциалы и для интегрирования.
ДИФФЕРЕНЦИИРОВАНИЕ
Все мы помним со школьной скамьи, что производная - это скорость изменения функции. Но есть и геометрический смысл производной - угловой коэффициент касательной к графику функции в точке. А если из рассуждений выше df = k * dx, где k - угловой коэффициент графика функции в точке, имеем df = f' * dx. Отсюда также f' = df/dx. Заметим также, что последнее равенство почти совпадает с определение производной через предел отношения приращения функции к приращению аргумента.
Итак, вот наши главные фомулы, связанные с производными:
Пользуясь верхней формулой мы будем раскладывать производные в уравнениях на дифференциалы, а пользуясь нижней - заменять одни дифференциалы на другие, возможно, более удобные.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Вспоминается картинка:
И, конечно, это правда, но нам нужно будет интегрировать, чтобы решать дифференциальные уравнения. Возможно, интеграл будет нетрудным, но он скорее всего будет присутствовать в решении.
Итак, как мы помним со школьной скамьи, интегрирование - процесс, обратный дифференцированию.
Неопределённым интегралом функции f(x) по x называют любую функцию вида F(x) + C, где F'(x) = f(x), а C - некоторое число, константа. Обозначают ∫f(x)*dx.
Кого же мы видим? Снова дифференциал! Углубляться в детали не считаю нужным, но вот, что нам важно:
+ Интегрируем мы функцию по той переменной / функции, которая указана в дифференциале, на который мы умножаем
+ После интегрирования результирующая функция уже не содержит дифференциал
То есть, интеграл - средство, с помощью которого мы можем превратить выражение с дифференциалом в выражение без дифференциала, сохранив притом верность изначальных условий, то есть получив «равномощное» равенство.
Итак, теперь мы снаряжены всем, что может помочь нам для начала изучения дифференциальных уравнений. Приступим!
ЧТО ТАКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ?
Следует определить то, с чем мы собрались работать:
Дифференциальное уравнение (или ДУ) - это уравнение, которое помимо самой функции содержит и её производные. Решением ДУ F(x, y, y', y'', … , y^(n)) = 0 является всякая функция y = f(x), обращающая данное уравнение в верное равенство.
Стоит отметить, что пока что под ДУ мы будем иметь в виду исключительно Обыкновенные ДУ (ОДУ), то есть ДУ, содержащие лишь функции одной переменной.
То есть, y - 24x + 8y² = 0 не является ДУ, а вот y' - 24x + 8y² = 0 - уже является.
Как мы увидели ранее, особенность ДУ состоит в том, что их решением является функция, она сама и производные которой удовлетворяют некоторому равенству. А если на сцену выходят производные, то можно сказать:
ДУ устанавливают требования как к самой функции, так и к скорости её изменения, её выпуклости и так далее - к её производным.
Практически всегда, когда в задаче речь заходит о скорости изменения чего-либо, речь идёт именно о производных некоторой функции.
СПОСОБЫ ЗАПИСИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Используются две основные формы для записи ДУ, содержащего производные не более n-ного порядка:
1) Общая форма: F(x, y, y', … , y^(n)) = 0
2) Нормальная (каноническая) форма: y^(n) = F(x, y, y', … , y^(n-1))
Та или иная форма записи используется, в основном, в зависимости от удобства и контекста, однако не все уравнения можно привести к виду 2) - такие называют разрешимыми относительно старшей производной.
КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Помимо разнообразных именных ДУ существуют некоторые параметры, которые характеризуют любые ДУ.
ПО ПОРЯДКУ
Порядком ДУ называют наибольший порядок производной, встречающийся в записи уравнения.
То есть, например, уравнение y' + y = 0 имеет порядок 1, уравнение y''' - 2y = 0 имеет порядок 3, а уравнение y'' + y' = 0 имеет порядок 2. Нетрудно заметить, что уравнение порядка n не обязано иметь в своей записи не только все производные порядка от 1 до n-1, но и саму исходную функцию. Однако, оно обязано иметь в своём составе саму производную n-ного порядка.
Вполне логично, что чем выше порядок дифференциального уравнения, тем, «в среднем», сложнее его решить.
ПО ОДНОРОДНОСТИ
Однородным ДУ называют уравнение, каждый из членов которого зависит от искомой функции. Прочие ДУ называют неоднородными.
Наверное, понятней будет на примере. Итак, y'' + xy' = 0 - однородное ДУ, а вот y'' + xy' = 5x - уже неоднородное. То есть, грубо говоря, рядом с каждым «x» должен быть «y».
Зачастую, решить однородное ДУ гораздо проще, чем решить аналогичное ДУ, но уже неоднородное.
ПО ЛИНЕЙНОСТИ
Линейным ДУ называют уравнение, содержащее производные и искомую функцию лишь в первой степени, а также не содержащее произведений производных разных порядков или исходной функции со своей производной между собой. Прочие ДУ называются нелинейными.
Вообще говоря, любое линейное ДУ n-ного порядка имеет вид y * a0(x) + y' * a1(x) + … + y^(n) * an(x) = f(x). Так, y'' + 2xy' + y/x = 6 - линейное ДУ, а вот (y')² = 6 или 1/(y') = 2 - нелинейные. Однако сказанное ранее - «следствие» настоящего определения линейного ДУ. Оно следующее:
Линейным ДУ называют ДУ F(x, y) = 0 такое, что F(x, C1 * y1 + C2 * y2) = C1 * F(x, y1) + C2 * F(x, y2), где y1 и y2 - функции, а C1 и C2 - некоторые числа. Прочие ДУ называются нелинейными.
Многие линейные ДУ можно решить, пользуясь относительно несложными алгоритмами, а вот для решения нелинейных ДУ приходится применять некоторые ухищрения.
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Думаю, не будет ложью сказать, что дифференциальные уравнения - объект, по «приложимости» почти лидирующий в высшей математике. Приведём для общего ознакомления несколько примеров того, как ДУ применяются «на практике».
ФИЗИКА
Я не помню, где я услышал такое мнение, но оно кажется довольно верным: «Современная теоретическая физика - это набор дифференциальных уравнений». С этим трудно поспорить, ведь каждая современная «теория всего» или любая другая более-менее фундаментальная теория в физике основывается на дифференциальных уравнениях:
1) Второй закон Ньютона, являющийся основанием классической механики:
Данная запись отличается от приведённой в начале статьи, поскольку в начале был приведён частный случай для тела с постоянной массой.
Данное уравнение говорит, что скорость изменения импульса тела (в ИСО, конечно) равна величине равнодействующей всех сил, действующей на тело.
2) Уравнение Шрёдингера, являющееся основанием квантовой механики
Здесь стилизованные «дельты» в левой части - взятия частных производных по времени. Это уравнение, как можно понять, не относится к ОДУ, ведь в нём присутствуют частные производные. Это как раз уравнение в частных производных - ДУ в ЧП.
3) Уравнение Эйнштейна, являющееся основанием Общей Теории Относительности:
Это ДУ в ЧП, так ещё и в тензорном виде. В общем, вообще ужас, но оно действительно используется.
4) Уравнения Максвелла, являющиеся основанием электродинамики:
И здесь ДУ в ЧП.
В целом, ДУ в ЧП настолько срослись с физикой, что сами ДУ в ЧП часто называют уравнениями математической физики. Зачастую в физике встречаются именно ДУ в ЧП.
5) Уравнение Навье-Стокса, описывающее течение жидкости с учётом её вязкости:
Вопрос о существовании и гладкости функций-решений данного уравнения является одной из семи задач тысячелетия в математике.
БИОЛОГИЯ
В биологии ДУ используются, например, в двух случаях (хотя ими, конечно, список моделей далеко не исчерпывается):
1) Концентрация вещества в крови при внесосудистом введении:
Данная модель, состоящая из двух дифференциальных уравнений при настройке некоторых коэффициентов способна показать, как изменяется концентрация вводимого вещества в месте введения (Cx) и крови (C).
2) Модель Лотки-Вольтерра, она же модель «хищник-жертва»:
Хотя и требующая некоторых допущений, данная модель вполне неплохо описывает общую динамику двух популяций, одна из которых - «хищник», а другая - «жертва». Хотя модель изначально и была разработана для взаимоотношений «хищник-жертва», она также оказалась применима во взаимоотношениях «паразит-хозяин» и «конкуренции» двух видов.
ГЕОМЕТРИЯ
Хотя дифференциальные уравнения будто говорят только о каких-то численных характеристиках, они могут описывать и некоторые фигуры. Например, окружность описывается неявной функции, являющейся решением ДУ:
В геометрических задачах производная понимается не в физическом смысле - как скорость изменения значения некоторой величины, - а, собственно, в геометрическом смысле - как тангенс угла между касательной ко графику в точке и осью абсцисс.
ПРОЧЕЕ
Также дифференциальные уравнения можно применять в совершенно разных задачах:
1) Задача погони предполагает следующее: по какой траектории будет двигаться тело A, если оно преследует тело B и скорости обоих тел остаются постоянны?
Решением дифференциального уравнения, соответствующего этой задаче, то есть, траекторией движения A является так называемая кривая погони. Эта математическая модель используется в довольно обширном списке приложений: от проложения курса движения кораблей до космической навигации.
Также, как оказывается, есть забавно называющаяся «задача про мышей», которая в некотором роде также является задачей погони: из нескольких точек стартуют мыши, каждая из которых в любой момент времени идёт в направлении ближайшей другой мыши.
2) Уравнение Блэка-Шоулза (ДУ в ЧП) является (хотя и не абсолютно точной) достаточно хорошей моделью поведения цены опциона на рынке ценных бумаг.
Решение уравнения Блэка-Шоулза (и его модификаций) помогло инвесторам делать свои решения чуть более обоснованными (хотя, кажется, многие экономисты критикуют данную модель).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой статье мы рассмотрели что такое ДУ и почему их следует решать. В следующей же статье мы рассмотрим что такое решение ДУ и какими бывают эти решения.
Начиная с этой статьи, после всего материала будут добавляться ссылки на интересные материалы, относящиеся к теме статьи.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ЗАКРЕПЛЕНИЯ МАТЕРИАЛА
Источник упражнений 4 и 8: A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, Dennis G. Zill
Источник упражнений 5 и 6: Сборник задач по дифференциальным уравнениям, А. Ф. Филиппов
Сформулируйте на языке дифференциальных уравнений следующие задачи и классифицируйте полученные уравнения по порядку, линейности и однородности:
1) Чему равна масса ещё не распавшегося радиоактивного вещества m в момент времени t, если скорость распада пропорциональна количеству ещё не распавшегося вещества m?
2) Чему равна температура тела T, находящегося на улице с температурой Tу (принять T > Tу), в момент времени t после «выноса» на улицу, если скорость остывания пропорциональна разности температуры тела T и улицы Tу?
3) Тело закреплено на пружине к потолку и испытывает действие трёх сил: силы тяжести Fт = mg, силы упругости пружины Fупр = -kx, силы сопротивления воздуха Fс = kv. Чему равно удлинение пружины x в момент времени t? Используйте второй закон Ньютона.
4) Чему равно население P некоторого сообщества в момент времени t, если скорость роста населения пропорциональная произведению населения P и косинуса от времени cos t.
Задачи далее со «звёздочкой» - геометрические. Выполните указанное выше задание, описывая кривые, как функции y = f(x) в декартовой системе координат.
5*) Найдите кривые, для которых площадь треугольника, образованного касательной, перпендикуляром от точки касания к оси абсцисс и самой осью абсцисс, постоянна и равна a².
6*) Найдите кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания.
7**) Докажите, что графиком решения ДУ, отнесённого в статье к окружности, действительно является окружность, составив это ДУ из свойств окружности. Для простоты можете считать окружность единичной
8**) Найдите «зеркальные» кривые C, отражающие все горизонтальные лучи L так, что они собираются в одной точке - начале координат. Учитывайте, что угол падения луча L на касательную в точке P падения луча на кривую C равен углу отражения от этой касательной.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
1) https://youtu.be/tWe1WcWLRec?si=PC1Gd7fK0dh6xctZ - Видео от Макара Светлого о ДУ
2) https://youtu.be/p_di4Zn4wz4?si=dG4uWUXFJ0LlekJO - Видео от 3Blue1Brown о ДУ