Проценты.
Определение: один процент – это одна сотая доля. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.
При решении задач необходимо понимать механизм начисления процентов по вкладам или кредитам. Например, если банк выдаёт кредит (S) клиенту, то через год клиент должен банку не только сумму кредита, но и некий процент (r). Возникает необходимость введения нового коэффициента b, b=1+0,01r. С учётом этого , долг клиента банку через год можно записать следующим образом:
Платежи.
В задачах по теме «Кредит» используют о три основных вида платежа:
1. Фиксированные платежи (платежи, которые чётко оговариваются в условии задачи)
2. Аннуитетные платежи (постоянные ежемесячные или ежегодные платежи, которые не меняются на протяжении всего периода кредитования)
3. Дифференцируемые платежи (ежемесячные или ежегодные платежи, уменьшающиеся к концу срока кредитования и обеспечивающие уменьшение суммы долга на одну и ту же величину)
2.3 Таблицы.
При решении задач, связанных с аннуитетными платежами мне было очень удобно заполнять следующую таблицу:
S – сумма кредита
r% - годовые (ежемесячные) проценты
b=1+0,01r – коэффициент
х – ежегодная (ежемесячная) выплата
Год
Долг с %
Выплата
Долг после выплаты
0
S
1 год
Sb
x
Sb-x
2 год
(Sb-x)b=Sb2-xb
x
Sb2-xb-x
3 год
(Sb2-xb-x)b=Sb3-x b2-xb
x
Sb3-x b2-xb-x
4 год
(Sb3-x b2-xb-x)b= Sb4-xb3-xb2-xb
x
Sb4-xb3-xb2-xb-x
5 год
(Sb4-xb3-xb2-xb-x)b= Sb5-xb4-xb3-xb2-xb
x
Sb5-xb4-xb3-xb2-xb-x
6 год
(Sb5-xb4-xb3-xb2-xb-x)b= Sb6-xb5-xb4-xb-3xb2-xb
x
Sb6-xb5-xb4-xb-3xb2-xb-x
n год
Sbn-xbn-1-xbn-2-…-xb2-xb
x
Полная выплата, долг равен 0
При решении задач, связанных с дифференцированными платежами я использовал следующую таблицу:
Месяц
Долг с %
Выплата
Долг после выплаты
0
S
1
Sb
2
n-1
n
0
При решении задач по теме «Вклады»:
Год
Вклад с %
0
1
Sb
2
Sb2
n
Sbn
При решении задач, в которых осуществлялись какие-либо действия (пополнение или снятие денег с вклада):
х – действие
Год
Вклад с %
Действие
Вклад после действия.
0
S
1 год
Sb
+х
Sb+x
2 год
b(Sb+x)= Sb2+xb
+х
Sb2+xb+x
3 год
b(Sb2+xb+x)=Sb3_+хb2+xb
Снял вклад
Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Арифметическая прогрессия
Определение. Последовательность чисел, в которой каждое следующее отличается от предыдущего ровно на одну и ту же величину, называется арифметической прогрессией.
Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии
Геометрическая прогрессия
Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
bn =b1· qn-1
Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии
1 вариант
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
- в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1125 тысяч рублей?
Решение.
Обозначим через S сумму (тыс. рублей), которую планируется взять в кредит. Первые 4 года долг (каждый год) возрастает на 20%, а затем, нужно сделать выплату так, чтобы долг равномерно уменьшался:
2026
2027
2028
2029
До выплаты
1,2S
После выплаты
Платеж
В следующие 4 года все то же самое, только долг (каждый год) возрастает на 18%:
2030
2031
2032
2033
До выплаты
После выплаты
0
Платеж
Известно, что общая сумма выплат составила 1125 тыс. рублей. За первые 4 года выплаты составили:
За следующие 4 года:
Общая сумма выплат, равна:
Кредит составил 600 тыс. рублей.
Ответ: 600
2 вариант
В июле 2023 года планируется взять кредит на 10 лет на некоторую сумму. Условия возврата таковы:
- каждый январь с 2024 по 2028 год долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;
- каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 16 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите сумму, которую планируется взять в кредит, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1470 тыс. рублей.
Решение.
Обозначим через S сумму (тыс. рублей), которую планируется взять в кредит. Первые 5 лет долг (каждый год) возрастает на 18%, а затем, нужно сделать выплату так, чтобы долг равномерно уменьшался:
2024
2025
2026
2027
2028
До выплаты
1,18S
После выплаты
Платеж
В следующие 5 лет все то же самое, только долг (каждый год) возрастает на 16%:
2029
2030
2031
2032
2033
До выплаты
После выплаты
0
Платеж
Известно, что общая сумма выплат составила 1470 тыс. рублей. За первые 5 лет выплаты составили:
За следующие 5 лет:
Общая сумма выплат, равна:
Кредит составил 750 тыс. рублей.
Ответ: 750
3 вариант
По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 20 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту сумму на 12 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад «А».
Решение.
По условию задания нужно найти наибольшее значение n, при котором итоговая сумма за три года будет меньше, чем на вкладе «А»:
Преобразуем неравенство, выразим n, получим:
Значит, наибольшее значение n = 37.
Ответ: 37
вариант 4
По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту сумму на 14 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет более выгоден, чем вклад «А».
Решение.
По условию задания нужно найти наименьшее значение n, при котором итоговая сумма за три года будет больше, чем на вкладе «А»:
Преобразуем неравенство, выразим n, получим:
Значит, наименьшее натуральное значение n = 3.
Ответ: 3
вариант 5
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на 6 лет. Условия его возврата таковы:
- в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 498 тысяч рублей. Найдите r.
Решение.
Обозначим через S = 300 тыс. руб – сумму, которая берется в кредит. Первые 3 года долг (каждый год) возрастает на 20%, а затем, нужно сделать выплату так, чтобы долг равномерно уменьшался:
2026
2027
2028
До выплаты
1,2S
После выплаты
Платеж
В следующие 3 года все то же самое, только долг (каждый год) возрастает на r%:
2029
2030
2031
До выплаты
После выплаты
0
Платеж
Известно, что общая сумма выплат составила 498 тыс. рублей. За первые 3 года выплаты составили:
За следующие 3 года:
Общая сумма выплат, равна:
Ответ: 16
вариант 6
В июле 2023 года планируется взять кредит на 8 лет в размере 800 тыс. рублей. Условия возврата таковы:
- каждый январь с 2024 по 2027 год долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
- каждый январь с 2028 по 2031 год долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1444 тыс. рублей.
Решение.
Обозначим через S = 800 тыс. руб – сумму, которая берется в кредит. Первые 4 года долг (каждый год) возрастает на r%, а затем, нужно сделать выплату так, чтобы долг равномерно уменьшался:
2024
2025
2026
2027
До выплаты
Платеж
В следующие 4 года все то же самое, только долг (каждый год) возрастает на 15%:
2028
2029
2030
2031
До выплаты
После выплаты
0
Платеж
Известно, что общая сумма выплат составила 1444 тыс. рублей. За первые 4 года выплаты составили:
За следующие 4 года:
Общая сумма выплат, равна:
Ответ: 19
вариант 7
Решение.
Годовая прибыль компании составляет:
Это график параболы с точкой максимума:
И наибольшее значение годовой прибыли достигает при
Нужно найти наименьшее p при котором суммарная прибыль за 12 лет составит не менее 744 млн рублей:
Решаем квадратное уравнение, имеем:
Равенство в 744 млн рублей достигается при p = 29.
Ответ: 29
Вариант 8
Решение.
Годовая прибыль компании составляет:
Это график параболы с точкой максимума:
И наибольшее значение годовой прибыли достигает при
Нужно найти наименьшее p при котором суммарная прибыль за 5 лет составит не менее 70 млн рублей:
Решаем квадратное уравнение, имеем:
Равенство в 70 млн рублей достигается при p = 24.
Ответ: 24
вариант 9
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 650 тыс. рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
- в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19 % по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Решение.
Обозначим через S = 650 тыс. руб – сумму, которая была взята в кредит. Первые 5 лет долг (каждый год) возрастает на 19%, а затем, делается выплата так, чтобы долг равномерно уменьшался каждый год:
- долг до выплат:
- долг после выплат:
- выплаты (ежегодные):
В следующие 5 лет все то же самое, только долг (каждый год) возрастает на 16%:
- долг до выплат:
- долг после выплат: