Когда мы слышим слово «бесконечность», кажется, что это что-то одно и неделимое. Ну как можно представить «больше бесконечности»? 😅
А вот математика спокойно утверждает: бесконечность бывает разных «размеров». И вот тут мозг реально начинает плавиться 🔥.
──────────────────────────────
🔹 Бесконечность чисел, которые можно посчитать
Возьмём простые натуральные числа: 1, 2, 3, 4… и так до бесконечности.
Их бесконечно много, но их можно перечислить по порядку.
Такую бесконечность математики называют счётной.
И даже если добавить сюда все отрицательные числа, дроби вроде 1/2 или 7/13 — всё равно получится «счётная бесконечность».
То есть, теоретически, все эти числа можно выстроить в один длинный список 📜.
──────────────────────────────
🔹 Бесконечность чисел, которые нельзя перечислить
А теперь представьте все вещественные числа между 0 и 1. Например:
0,1 … 0,11 … 0,111… 0,14159… 0,999… и так до бесконечного количества знаков после запятой.
Их невозможно перечислить так, чтобы в списке оказалось абсолютно каждое число.
Математик Георг Кантор доказал это с помощью гениального трюка под названием диагональный аргумент.
И вот тут шок: оказывается, что чисел между 0 и 1 больше, чем всех натуральных чисел вместе взятых! 😱
То есть эта бесконечность больше той бесконечности.
──────────────────────────────
🔹 «Иерархия бесконечностей» 🏰♾️
Это значит, что существует целая иерархия бесконечностей:
самая маленькая — счётная (1, 2, 3, …);
побольше — континуум (все вещественные числа);
и дальше ещё более безумные уровни, до которых наш мозг даже не дотягивается 🚀.
Причём каждый «уровень» бесконечности настолько больше предыдущего, что они даже несопоставимы.
Это не «чуть больше» — это «качественно больше».
──────────────────────────────
🔹 Пример для воображения
Представьте библиотеку 📚, где есть бесконечное количество книг.
В первой библиотеке книги пронумерованы: 1, 2, 3… и так бесконечно. Это счётная бесконечность.
Во второй библиотеке есть все возможные книги, написанные буквами и цифрами. Даже если взять только книги длиной в 100 страниц — их уже несчётно бесконечно много!
То есть первая бесконечность — это просто бесконечный список.
Вторая — это океан, в котором никакого списка уже не составить.
──────────────────────────────
🔹 Отель Гильберта 🏨♾️
Есть ещё один умопомрачительный пример. Представьте отель, в котором бесконечно много номеров, и все они заняты.
Кажется, что нового гостя разместить уже негде. Но если каждого переселить в номер с номером +1, то освободится первый номер.
То есть даже «полная бесконечность» может вместить ещё больше! 🤯
А вот если к отелю приедет бесконечное количество автобусов с бесконечным числом пассажиров в каждом — тогда придётся применять совсем хитрые приёмы, чтобы всех расселить.
──────────────────────────────
🔹 💡 Мозговзрывающий факт
Всех натуральных чисел бесконечно много.
Всех вещественных чисел — ещё больше бесконечно много.
А дальше есть бесконечности, которые настолько огромны, что сама математика пока толком не знает, как их «посчитать».
То есть у бесконечности нет предела. Она бесконечно бесконечна 🤯♾️.