Сириус. Дополнительные главы комбинаторики. 8 класс. Число сочетаний

На плоскости отмечено 10 точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой. Сколько можно провести различных прямых, каждая из которых проходит ровно через 2 отмеченные точки?

Просто сочетания 2х точек из 10 возможных

10!:(2!8!)=9*10:2=45

Ответ 45

Сколько существует треугольников с вершинами в данных точках?

10!:(3!7!)=8*9*10:(2*3)=4*3*10=210

Ответ 210

Сколько существует девятизначных чисел, состоящих из 4 нулей и 5 единиц?

На первом месте стоит 1. Осталось разместить оставшиеся 4 единицы в 8 позициях.

8!:(4!4!)=5*6*7*8:(2*3*4)=5*7*2=70

Ответ 70

У мамы есть 2 одинаковых яблока и 3 одинаковых груши. Каждый день в течение пяти дней она хочет выдавать сыну по одному фрукту. Сколькими способами она может это сделать?

По сути нам нужно выбрать в какие два из пяти дней мы хотим дать яблоки. Ну или в какие 3 дня дать груши. Результат будет один.

5!:(3!2!)=4*5:2=10

Ответ 10

У Кости есть 6 книг, а у Жени — 8. Сколькими способами они могут обменяться тремя книгами? (Все книги разные.)

Нужно понять сколько способов у Кости есть выбрать 3 книги. И сколько у Жени.

У Кости 6!:(3!3!)=4*5*6:(2*3)=20

У Жени 8!:(3!5!)=6*7*8:(2*3)=56

Для каждого из 20 Костиных способов есть 56 Жениных, поэтому в итоге

20*56

Ответ 1120

Торт разделён на 10 кусков разного размера. Сначала Вася забирает себе в тарелку 3 куска, затем Катя забирает себе 3 куска, а оставшиеся 4 куска берёт Миша. Сколькими способами они могут поделить торт?

Вася может выбрать 3 куска 10!:(3!7!)=8*9*10:(2*3)=120 способами

Катя может выбрать 7!:(3!*4!)=5*6*7:(2*3)=35 способами.

Для Миши остался 1.

120*35*1=4200

Ответ 4200

Остальные задачи раздела