Условие задачи по проверке числа на простое
Необходимо определить, является ли данное натуральное число простым. Простое число — это положительное целое число большее единицы, которое делится нацело только на единицу и на само себя.
Простое число имеет ровно два положительных делителя: единица и само число. Например, числа 2, 3, 5, 7 являются простыми, поскольку имеют только такие делители. Число 4 не является простым, потому что кроме единиц и самой четвёрки, у неё ещё есть делитель 2.
Описание проблемы:
Нам дано некоторое число n, и наша цель — выяснить, простое оно или нет. Классическое решение предполагает проверку делимости числа на все целые числа от 2 до n-1. Однако такой подход крайне неэффективен для больших чисел.
Оптимизированный способ заключается в проверке делимости лишь до квадратного корня из n, потому что если у числа существует делитель больший, чем корень из n, то обязательно найдется меньший делитель, компенсирующий этот фактор.
Поэтому, чтобы оптимизировать проверку, нам достаточно рассматривать потенциальные делители только до квадратного корня из n. Таким образом, алгоритм существенно ускоряется.
Реализация:
Объяснение решения:
- Если число меньше или равно 1, оно автоматически считается непростым.
- Если число 2 или 3, оно сразу признается простым.
- Далее, для любого другого числа n выполняется цикл, проверяющий делимость на числа от 2 до квадратного корня из n включительно.
- Как только находится делитель, возвращается `False`, означающее, что число сложное.
- Если ни одного делителя не обнаружено, возвращается `True`.
Примеры использования:
- Для числа 17 результатом будет `True`, так как 17 — простое число.
- Для числа 10 результатом будет `False`, так как 10 делится на 2 и 5.
Сложность алгоритма:
Алгоритм работает за O(sqrt{n}) операций, что гораздо быстрее классического метода полного перебора делителей до n-1.
Этот подход используется повсеместно в программах для быстрой проверки простоты небольших чисел.