Постановка
— Вот тебе задача.
Как двумерный муравей, живущий на поверхности очень большой трёхмерной сферы, может понять, что он обитает на искривлённой поверхности, а не на плоскости?
— Простыми словами? У него есть несколько приёмов.
- Сумма углов треугольника больше 180°. Построит треугольник с геодезическими сторонами и измерит углы. Избыток равен A/R², где A — площадь, R — радиус сферы.
- Окружность «слишком короткая». В плоскости C=2πr, на сфере — меньше, отклонение пропорционально r/R².
- Параллельный перенос «компаса». Обойдёт замкнутый путь и заметит, что стрелка повернулась на угол, равный площади петли, делённой на R². В Евклиде такого нет.
- Сходимость геодезических. Две почти параллельные линии всё равно пересекутся — как меридианы на Земле.
- «Пи» меньше π\piπ. Для больших кругов эффективное значение πeff=πsin(r/R)<π.
— Но ведь если сфера огромна, все эти эффекты исчезают?
— Именно.
При очень большом R гауссова кривизна 1/R² крошечна. Сумма углов треугольника отличается от 180° на ничтожные доли наносекунд, длина окружности почти равна 2πr, параллельный перенос даёт поворот, который компас муравья не заметит. На масштабах, меньших радиуса, его мир выглядит совершенно плоским.
— Тогда, может быть, горизонт станет для него уликой? Ведь за горизонтом «мира нет».
— Вот тут и ловушка.
Горизонт — это не «край мира», а ограничение линии зрения. На любой выпуклой поверхности — сфере, цилиндре, даже на кривой картофелине — он возникнет. Сам по себе горизонт не доказывает сферичности, он лишь косвенный признак кривизны. Без математики муравей решит, что живёт на плоском листе с краем.
От муравья к нам
— Чуешь аналогию?
Мы — как муравей, только в трёх измерениях. Если наше пространство есть поверхность четырёхмерной сферы S³, то у нас тоже должен быть свой горизонт.
— И мы его видим?
— Да, и зовём его космологическим.
Телескопы Хаббл и JWST не видят дальше примерно 13,8 млрд лет — до космического микроволнового фона. В космологии это объясняется конечным возрастом Вселенной и скоростью света: дальше просто не успел прийти сигнал. Но математически это выглядит похоже на муравья: он не видит «дальше» не потому, что там пустота, а потому что геометрия и условия распространения света ограничивают его поле зрения.
Метрика замкнутого мира
Если Вселенная действительно замкнута как трёхмерная сфера, то её метрика записывается так:
Это пространство конечное, но без края. Горизонт здесь — не граница мира, а проявление кривизны.
Космологическая перспектива
— Значит, как у муравья: горизонт — всего лишь иллюзия края?
— Верно.
Если мы живём на S³, свет теоретически может обогнуть Вселенную и вернуться к нам с другой стороны. Космологи искали «эхо» в реликтовом излучении, совпадения узоров, но пока безрезультатно. Возможно, радиус кривизны настолько велик, что для нас пространство выглядит почти плоским.
Заключение
— Так твоя мысль в чём?
— В том, что космологический горизонт для нас играет ту же роль, что и горизонт для муравья.
Dозможно, мы живём на поверхности четырёхмерной сферы, и ограниченность обзора есть прямое проявление её кривизны.