Я — учитель информатики, готовлю старшеклассников к экзаменам с 2003 года и знаю по опыту: комбинаторика — это «золотая жила» лёгких баллов, если её понять на уровне смыслов, а не формул. Ниже — короткая статья-памятка с объяснениями, когда применять перестановки/размещения/сочетания, какими мысленными вопросами руководствоваться и как разбирать нетривиальные задачи. В конце — подробные разборы трёх характерных задач в стиле ЕГЭ.
Зачем старшекласснику комбинаторика
- ЕГЭ любит структуры. Очень многие задания на слова/коды/номера — это одна и та же идея: считать объекты по правилам (повторы/запреты/порядок).
- Это про логику, не только про формулы. Главное — правильно «разложить по полочкам» случаи. Формулы лишь инструмент.
- Быстрые баллы. Освоив 5–7 типовых приёмов (звёздочки-перегородки, «вставляем блок», «сколько способов поставить ограничение»), вы практически гарантируете себе решение профильных задач.
- Тренирует аккуратность. Научившись «разбивать на случаи», вы лучше справляетесь и с другими разделами ЕГЭ.
- Пригодится дальше. Алгоритмы, вероятность, анализ данных — всё питается идеями комбинаторики.
Мини-шпаргалка: как выбрать инструмент
Перестановки (все объекты разные, порядок важен, берём все): n!
Размещения без повторений (все разные, порядок важен, берём k из n):
Сочетания (порядок не важен):
Повторы разрешены? Тогда думаем в «цифровой» модели (основание системы счисления) или используем формулы с повторениями.
Ограничения (запреты/ровно/не более): разбиваем на случаи, используем «блоки», проверяем крайние позиции, следим за ведущими нулями и соседними одинаковыми символами.
Лексикографический порядок → думайте о слове как о числе в системе счисления по «алфавиту».
Разборы задач
1) Лексикографический список
Демоверсия 2026 (Уровень: Базовый)
Все пятибуквенные слова, составленные из букв С, Т, Р, О, К, А, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы.
Вот начало списка:
1. ААААА
2. ААААК
3. ААААО
4. ААААР
5. ААААС
6. ААААТ
……
Определите, под каким номером в этом списке стоит последнее слово с чётным номером, которое не начинается с букв А, С или Т и при этом содержит в своей записи ровно две буквы О.
Примечание. Слово – последовательность идущих подряд букв, не обязательно осмысленная.
Решение
Лексикографический список слов из букв {А, К, О, Р, С, Т} (русский алфавитный порядок)
Условие вкратце. Все 5-буквенные слова из {С,Т,Р,О,К,А} упорядочены алфавитно (А < К < О < Р < С < Т). Найти последнее слово с чётным номером, которое не начинается с А, С, Т и содержит ровно две О.
Ключевая идея. Лексикографический порядок = число в 6-ичной системе (А=0, К=1, О=2, Р=3, С=4, Т=5). Номер = значение N+1. Чётный номер ⇔ N нечётно ⇔ последняя «цифра» — нечётная (1, 3 или 5 ⇒ К, Р, Т).
- Первую букву нельзя А/С/Т ⇒ максимум по лексикографическому — Р.
- Нужно ровно две О и максимально «позднее» слово ⇒ О толкаем как можно правее.
- Последняя буква должна быть нечётной и максимально возможной ⇒ Т.
- Тогда две О должны стоять до последней позиции, максимально поздно: получаем РТООТ.
Проверим номер: цифры [Р,Т,О,О,Т]=[3,5,2,2,5].
Номер = N+1=5058 (чётный). Другого более «позднего» варианта нет.
Ответ: 5058.
2) Без повторений
Резервный день 19.06.25 (Уровень: Базовый)
Сколько существует семеричных пятизначных чисел, содержащих в своей записи ровно одну цифру 6 и не содержащих идущих подряд одинаковых цифр?
Решение
Цифры: 0…6, ведущий ноль запрещён, требуется ровно одна «6», нет соседних равных.
Разобьём на случаи.
A. Первая цифра — 6.
Тогда позиции 2–5 берём из {0,1,2,3,4,5}, избегая равенства соседей (с 6 совпасть нельзя).
Варианты: 6⋅5⋅5⋅5=750.
B. Первая цифра ≠ 6 (и ≠ 0).
Тогда «единственная 6» стоит на позиции {2,3,4,5}.
Подсчёт:
если "6" на позиции 2, маска числа выгядит: * 6 * * *.
Тогда на месте первой * может стоять {1,2,3,4,5},
на месте второй * может быть {0,1,2,3,4,5},
тогда для третьей * вычёркиваем ту цифру, которая стояла на втрой *,
аналогично рассуждаем для последней *.
Для такой маски количество сочетаний: 5*1*6*5*5 = 750.
если "6" на позиции 3, маска числа выгядит: * * 6 * *.
Тогда на месте первой * может стоять {1,2,3,4,5},
на месте второй * может быть {0,1,2,3,4,5} минус та цифра, которая стояла на первом месте,
на месте третьей * может стоять {0,1,2,3,4,5}
на месте последней * может быть {0,1,2,3,4,5} минус та цифра, которая стояла на третьей *.
Для такой маски количество сочетаний: 5*5*1*6*5 = 750.
если "6" на позиции 4, маска числа выгядит: * * * 6 *.
Тогда на месте первой * может стоять {1,2,3,4,5},
на месте второй * может быть {0,1,2,3,4,5} минус та цифра, которая стояла на первом месте,
на месте третьей * может быть {0,1,2,3,4,5} минус та цифра, которая стояла на втором месте
на месте последней * может быть {0,1,2,3,4,5} .
Для такой маски количество сочетаний: 5*5*5*1*6 = 750.
если "6" на позиции 5, маска числа выгядит: * * * * 6.
Тогда на месте первой * может стоять {1,2,3,4,5},
на месте второй * может быть {0,1,2,3,4,5} минус та цифра, которая стояла на первом месте,
на месте третьей * может быть {0,1,2,3,4,5} минус та цифра, которая стояла на втором месте
на месте последней * может быть {0,1,2,3,4,5} минус та цифра, которая стояла на третьем месте .
Для такой маски количество сочетаний: 5*5*5*5*1 = 625.
Итого: 750+(750+750+750+625) =3625.
Ответ: 3625.
3) Перестановки
Леонид составляет коды перестановкой букв слова ПАРИЖАНКА. При этом в этих кодах ровно один раз встречаются две идущие подряд гласные буквы. Сколько различных кодов может составить Леонид?
Решение
Слово: 9 букв; частоты: А×3, П, Р, И, Ж, Н, К — по 1.
Гласные: А, И (всего 4 гласные: А×3 и И×1).
Нужно: ровно одна пара соседних гласных (никаких трёх подряд).
Метод «блоков».
- Расставим 5 согласных (П, Р, Ж, Н, К): 5!5!5! способов.
- Между ними и по краям образуется 6 «слотов» для гласных. Чтобы была ровно одна пара, кладём две гласные в один слот (они и дадут единственную «сцепку»), а ещё две гласные — по одиночке в два других слота.
Выбор слота для пары: 6 способов.
Выбор двух слотов под одиночные:
3. Разложим конкретные гласные (А×3, И×1) по структуре «(пара, одиночная, одиночная)».
Позиции различимы, внутри пары важен порядок. Количество разных раскладок равняется числу способов поставить единственную «И» на одну из 4 гласных позиций (две в паре — различимы по порядку и две одиночные): 4.
Итого:
Ответ: 28800
Частые ловушки и как их обходить
- Ведущий ноль. Для «чисел» первая позиция часто имеет отдельные ограничения.
- Соседние одинаковые. Считайте «первую свободно, дальше по (алфавит−1)».
- Ровно / не менее / не более. Разбивайте на непересекающиеся случаи.
- Лексикографический номер. Смотрите на «последнюю цифру» для чётности; стройте число в системе счисления по алфавиту.
- Повторы букв. Делайте корректировку на одинаковые элементы (деление на факториалы повторов).
Домашняя тренировка
- Сколько 6-буквенных слов из {А, Б, В, Г} содержат хотя бы одну «А» и не имеют двух одинаковых букв подряд?
- Сколько 7-значных восьмеричных чисел начинаются с нечётной цифры и содержат ровно две цифры «0», без одинаковых цифр подряд?
- Сколько перестановок букв набора {А×2, Б×2, В×1, Г×1} имеют ровно один блок из двух одинаковых букв подряд?
Вы большие молодцы, что готовитесь заранее — я рядом, чтобы помочь 💪