Часть I. Ленты, трубы, кренделя и бутылки
Да, я видел Григория Перельмана. Но увы не вчера, а четверть века назад, в конце девяностых, когда группа молодых математиков отправилась на топологическую конференцию в Санкт-Петербург. Все участники «воркшопа» имели так или иначе отношения к Гипотезе Пуанкаре – одной из проблем Миллениума, которая потом прославила Перельмана. Тогда еще никто не знал, что путь Григория к решению программы Тёрстона (из которой следовала и Гипотеза) окажется короче, и доказательство великой задачи будет опубликовано через 2-3 года.
После мне не раз доводилось рассказывать на популярных лекциях, в математических кружках и о гипотезе Пуанкаре, и о доказательстве Перельмана, и о том, как журналисты пытались «сломать» его репутацию… Попробую изложить эту историю и здесь, только повествование будет долгим, и придётся разбить его на несколько частей.
Открытие Перельмана имеет отношение к топологии трёхмерных многообразий и их классификации. Пояснению, что этих слов мы и посвятим наш первый выпуск.
Геометрия и топология
Бывает математика где-нибудь на вечеринке спрашивают: «какая у вас специальность? Топология?» – то чтобы отвязаться, можно дать ответ «это раздел современной геометрии». Вот и специальность у магистров и аспирантов называется «Геометрия и топология».
На самом деле, топология в некотором смысле «противоположность» геометрии. Это не значит, что эти две науки «не дружат», они как две сестры, старшая и младшая, похожи и дружны. Открытие Перельмана в равной степени имеет отношение как к геометрии, так и к топологии.
Что означает буквально слово «геометрия»? «Гео», «метр» – меряет землю. Это наука о расстояниях, углах, площадях, величина которых особенно важна, все, кто недавно сдавал ЕГЭ, ещё не забыли вычислительных геометрических задач.
Но есть ли такие свойства, которые от расстояний как раз не зависят? Их изучает топология – «наука о месте, о расположении».
Иногда говорят, что предмет топологии – пластилиновый или резиновый мир. Объекты можно растягивать и сжимать сколько угодно, но нельзя разрезать и склеивать – разумеется, если не хочешь получить совсем другой объект.
Не вдаваясь в заклинания по поводу компактности, сепарабельности и тому подобное (наше дело объяснить на пальцах), мы будем называть многообразиями те объекты, которые изучает топология. Объекты «одинаковы», не различимы с точки зрения топологии, если один в другой можно трансформировать без разрывов и склеек. В серьёзной науке такие трансформации называются разными словами – гомотопии, изотопии, гомеоморфизмы.
Есть великая задача: научиться разбивать многообразия определённой размерности на классы «одинаковых» (гомеоморфных и т.д.) – то есть классифицировать.
Длина без ширины
Давайте разберёмся с понятием размерность.
Здесь уместно процитировать Евклида. Древнегреческий учёный ничего о топологии не знал, но однажды в «Началах» написал примерно следующее: «Линия – это длина без ширины. Поверхность есть длина и ширина, а тело есть длина, ширина и высота».
Нульмерное многообразие – это точка. Она одна такая, и говорить о ней неинтересно.
Одномерное многообразие – это линия, «длина без ширины». Её можно изготовить с помощью нити или проволоки.
Важно, что сама линия может находиться в пространстве большей размерности.
Если линия в двумерном пространстве на плоскости – это будет причудливый график.
А вот если линия в трёхмерном пространстве она может быть прямой, а может и свисать спиралью.
Есть и более сложные формы. Завяжем шнурок, как обычно на ботинке, а концы склеим – получится узел-трилистник – особое существо в топологическом зоопарке. Не разрезая обратно, распутать его не получится.
Окружность и отрезок
Всё-таки вернёмся к линиям – одномерным многообразиям самим по себе. Оказывается, с точки зрения топологии их существует не так уж много: отрезок и окружность.
У окружности нет края. Какую точку ни возьми, всегда вокруг неё найдётся окрестность, целиком лежащая на окружности. И как бы экзотически она ни была «подвешена» в многомерном пространстве, грубо говоря, для вагончика, идущего по ней всегда есть рельсы, и можно ехать хоть вперёд, хоть назад. Добавим свойство односвязности: вагончик по рельсам вдоль окружности может доехать из любой точки в любую другую.
На отрезке тоже можно добраться из любой точки в любую другую, но для этого надо знать направление. Ведь есть у отрезка есть граничные точки – края. Вагон уткнётся в них и дальше ехать не может.
Запомним полезный термин. Многообразия без края называют замкнутыми (окружность). Все остальные – многообразия с краем.
Сфера
Теперь попробуем конструировать двумерные многообразия – поверхности. Их можно делать из ткани, металла, главное, чтобы они сами были плоскими, только длина и ширина, а уж как они изогнуты в пространствах большей размерности, другое дело.
Сначала задумаемся, какими могут быть замкнутые многообразия.
Была окружность – добавили одну размерность, получилась …сфера.
Они даже задаются одинаковыми уравнениями
Окружность x^2+y^2 = 1
Сфера x^2+y^2+z^2 = 1.
Заметили закономерность: окружность – «одномерная», а переменных надо две x и y, сфера «двумерная», а переменных надо три x, y и z. Это потому что наши объекты рассмотрены в пространстве на размерность больше. Если увеличить размерность пространства, уравнения станут сложнее, превратятся в системы.
Почему 1, а не 1000000? Почему вообще сфера, а не пирамида, не параллелепипед? С точки зрения «резиново-пластилиновой» топологии – все равно. Углы можно сгладить, так будем считать, что их и вовсе нет.
Топологи хитрят. Когда они собирают какой-то сложный объект из «кирпичиков», они сферу считают тетраэдром, а круг – прямоугольником. Когда есть углы и стороны, удобно задавать склейки, которые породят нечто новое. А когда им надо показать результат, всё обратно превращается в сферы.
Итак сфера. Мы не знаем, где, в каком пространстве она находится. Но «приземлившись» в любую её точку на космическом корабле, мы можем отправиться в путешествие в любую сторону. И если будем идти только прямо и прямо, однажды в ту же самую точку вернемся («земля круглая»). А если нам понадобится другая заданная точка, то построив маршрут, сможем попасть и в неё. Главное, что нам никогда не встретится край, обрыв, за которым пустота, дыра, ведущая в никуда.
Крендели
Итак, мы прилетели на корабле на неизвестную планету, и обнаружили, что она «круглая» в том смысле, что если в любую сторону идти, не меняя направления, то однажды вернёшься туда же, откуда прибыл, только с противоположной стороны. Значит ли это, что планета имеет форму сферы? Нет!!!
Попробуем сконструировать новое двумерное замкнутое односвязное многообразие – тор.
Берем заготовку – квадрат (кому хочется, можно считать, что мы взяли круг, и спрямили его, сделав четыре угла, топология позволяет). Пока у него есть края – четыре отрезка. Склеим противоположные стороны не перекручивая их, получится труба.
У трубы остаются ещё две компоненты края, склеим и их, не перекручивая.
Получится тор или крендель первого рода.
По нему тоже можно путешествовать и возвращаться, как по сфере. И края нет, ведь все края мы аккуратно склеили друг с другом, обеспечив свободное продвижение. Но… что-то здесь появилось новое.
Представим, что мы не просто отправились в кругосветное путешествие, а в самом начале пути поставили столб и привязали к нему сколь угодно длинную веревку. Обошли планету, разматывая веревку всю дорогу, вернулись с противоположной стороны, привязали другой конец веревки к столбу, а дальше попытались собрать всю верёвку к себе (стянуть свой путь в точку). Если планета имеет форму сферы, это нам удастся всегда. А вот если форму тора – не факт. Верёвка может опоясать тор, и тогда стянуть её к себе не получится.
Теперь представим обобщение тора – две склеенные друг с другом баранки. Или три.
Поскольку мир пластилиновый, неважно как располагать «бублики», изображать их друг за другом просто удобнее.
По-английски это будет pretzel – крендель такого-то рода, зависит от того, из скольких бубликов он встречен.
Опять дадим волю топологии, превратим сферу в куб, а остальные кренделя расположим на одной из его поверхностей. Получится «чемодан» с 1, 2, 3… N «ручками», берись и неси, только бы рук хватило. По-английски его называют «handlebody» или «тело с ручками».
Тор – тело с одной ручкой, крендель рода два – тело с двумя ручками, крендель рода три – тело с тремя ручками. Получается два названия для одной сути, но ими удобно пользоваться в разных ситуациях.
А если всё-таки край?
Возьмём ножик и вырежем в сфере круглую дырку. В дыру соскальзывать нельзя, это пустота и небытие.
Как ни удивительно, но сфера с дыркой – то же, что диск (круг, или прямоугольник, или треугольник). Для того, кто оказался на этой сфере как на планете всё равно, есть один край, обрыв, который образует собой окружность.
Находясь на планете, мы не знаем, круглая она или плоская. Но подойдя к обрыву, ведущем в никуда, мы можем предположить, что она имеет форму диска. А уж как она изогнута сама, разговор отдельный.
Вырежем в сфере две круглых дырки. Теперь у нас два края, а значит объект превратился в кольцо (сферу с двумя дырками можно надеть на палец как обручальное).
А что если вырезать дырки в торе? В различных кренделях? Тоже будет получаться нечто новое?
Вообще, топологи не любят, чтобы при классификации им мешали края, поэтому дырки они в конце концов заклеивают, удобнее работать с замкнутыми многообразиями.
Вопрос в том, чем можно заклеить круглую дырку на сфере? Только таким же диском, который и вырезали? Э нет, не спешите…
Лента Мёбиуса
Вернёмся к прямоугольной заготовке.
Склеим две стороны прямоугольника, но в противоположных направлениях, начало с концом, конец с началом, ну и другие точки соответственно. Прямоугольная лента перекрутится.
Вместо трубы, как в прошлый раз, получится загадочная лента Мёбиуса, она же лист Мёбиуса.
Рекомендуется склеить лист Мёбиуса из бумажной ленты и поиграть с ним в такие игры.
1. Попробуйте покрасить лист Мёбиуса. Берем фломастер, не отрываясь закрашиваем. Оказывается, что он покрашен весь сразу целиком. То есть у него одна сторона! А ведь прямоугольную заготовку пришлось бы красить с двух сторон, переворачивая, сверху и снизу.
2. Попробуем покрасить край листа Мёбиуса. Легко догадаться, что и край покрасится сразу весь.
3. Разрежьте посередине лист Мёбиуса. То, что получится, разрежьте ещё раз посередине.
Какой край у листа Мёбиуса? Он одномерный, по нему можно двигаться в любых направлениях, односвязный – в общем это окружность, которая как-то перекручена в пространстве.
И тут важнейший момент: листом Мёбиуса можно заклеить круглую дырку. А какие претензии? Край дырки – окружность и край листа Мёбиуса окружность. Топология позволяет выбрать любые размеры, и мы просто отождествим точки краёв. Что произойдёт при этом с самим многообразием?
Сразу скажем, что в трёхмерном пространстве без самопересечений объект не поместится. А вот в четырёхмерном запросто. Мы конечно не способны видеть в 4 измерениях, но объект не виноват.
Бутылка Клейна
Снова возвращаемся к прямоугольной модели, с которой все начиналось.
Две стороны прямоугольника склеиваем как положено, без перекручивания.
Получается труба. Или кольцо (трубу как и кольцо можно надеть на палец).
У кольца два круглых края. Можно склеить один с другим и получит тор. А можно…
Когда-то наши края-окружности были отрезками. Отождествим на них противоположные точки: правую нижнюю с левой верхней и так далее.
Получится объект, который в трехмерное пространство опять не помещается, а требует четырехмерного. Он называется «бутылкой Клейна».
Великий математик Феликс Клейн полтора века назад написал так: «О нём можно составить себе представление, если вывернуть кусок каучуковой трубки и заставить его пересечься с самим собой таким образом, чтобы при соединении его концов его внешняя сторона соединилась бы с внутренней».
Что мы получаем? Все края заклеены – значит это замкнутое многообразие. Его можно изготовить из куска ткани, только вот потребуется 4 измерения.
Рисуем мы в трех измерениях, поэтому в месте «самопересечения» придется рисовать пунктир. Но в четырех измерениях никаких самопересечений нет!
Дополнительный вопрос, который задают на экзамене по топологии второкурсникам, чтобы вытянуть их с двойки на трояк.
Можно ли попить из бутылки Клейна? Ответ нет, но не только потому что вода в четырехмерном пространстве «выльется» (кто её вообще знает эту «четырехмерную воду»). Из обычной сферы тоже не напьёшься, хотя бы там внутри и плескалась вода – нужен край, придётся делать дырку. Вот и у бутылки Клейна края нет.
И ещё два интересных открытия.
Склеим два листа Мёбиуса по краям (край каждого, напомним, окружность) – получится бутылка Клейна.
Если же в обычной сфере заклеить круглую дырку лентой Мёбиуса получится нечто, что у топологов называется «проективная плоскость». Те, кто изучал начертательную геометрию, возразят: позвольте, проективная плоскость определяется совсем иначе. Объяснять связь между этими двумя определениями мы не будем, оставив любопытному читателю восстановить её в качестве упражнения.
Вся многомерная рать
Любое замкнутое двумерное многообразие гомеоморфно (то есть тождественно) чемодану (сфере) с Р ручками и Q вклеенными листами Мёбиуса, иными словами является комбинацией (связной суммой) кренделей и бутылок Клейна.
Если сформулировать строго, получится теорема, которой заканчивается классический курс топологии для младшекурсников-бакалавров. Впрочем, с поверхностями можно экспериментировать и дальше – например устраивать у них расслоения и разветвлённые накрытия и т.д.
Выше мы уже рассуждали про эксперимент с верёвками или путями, которые на сферической планете стягиваются в точку, а на торической зацепляются, образуя петлю. Если ручек у кренделя много, зацепиться можно за каждую особой петлёй. Эти петли можно складывать (последовательно проходить друг за другом). А как мы уже писали в блоге «Наука в ЮУрГУ», если есть некие абстрактные объекты, между ними определена операция сложения, то в итоге получается объект называемый алгебраическая группа.
Пуанкаре назвал группу, образуемую такими независимыми петлями (путями на поверхности) – фундаментальной группой многообразия.
У сферы все петли стягивались в единственную точку, а группа из одного элемента называется тривиальной.
У тора, кренделей большего рода группы были сложнее.
И Пуанкаре на радостях заключил: если фундаментальная группа тривиальна, то и замкнутое ориентируемое (!) многообразие любой размерности – сфера. Только вот доказать это получилось у него лишь для размерности 2.
Забегая вперёд, скажем, что для многообразий 5- и более –мерных всё довольно скучно и быстро было доказано (Дж. Столлингсом). Для 4-мерных многообразий – тоже пройденный этап, верно.
Оставался самый сложный, трёхмерный случай.
Если трёхмерное многообразие (напомним, оно не обязано помещаться в трехмерном пространстве, может потребоваться больше размерностей) имеет тривиальную фундаментальную группу, оно гомеоморфно (эквивалентно) трёхмерной сфере.
Переведём на язык со столбом и верёвкой. Допустим, мы умеем не просто совершать кругосветное путешествие вдоль планеты в любом направлении, а ещё и бесконечно высоко прыгать. Привязали один конец веревки к столбу, подпрыгнули, улетели в космос, появились из пола, привязали другой конец веревки к столбу. Тянем. Допустим, что во всех возможных направлениях веревка стягивается в точку, то есть фундаментальная группа (уже вселенной, а не планеты) – тривиальна. Следует ли отсюда, что вселенная имеет форму трехмерной сферы, то есть после исправления бугров и вмятин может быть задана уравнением x^2+y^2+z^2+t^2=const?
Кто-то возразит: Вселенная бесконечна. Это вам так кажется. Представьте плоского жука, который бесконечно путешествует по поверхности меча, и ему кажется, что он ползёт по плоскости.
Продолжение следует…
Остап Давыдов