Немного теории.
Инве́рсия - это термин, который понятен всем на подсознательном уровне, как что-то, сделанное наоборот. И на самом деле, в латинском языке слово inversio означает «переворачивание; перестановка».
Поскольку латинский наряду с древнегреческим были больше тысячи лет языками всех ученых Европы и даже Ближнего Востока (наряду с арабским и персидским), то понятие инверсии используется почти в каждой науке и во многих видах искусства. И везде оно означает что-то типа наоборот.
В геометрии инверсия означает преобразование плоского пространства относительно окружности (это самый простой вариант - инверсия плоского двухмерного пространства).
При этом все что находится за пределами окружности, вплоть до бесконечности, преобразуется в точки внутри окружности. Иногда саму бесконечность со всех сторон рассматривают как преображающуюся в центр окружности - единственную точку O.
И наоборот, всё, что ограничено нахождением внутри окружности, преобразуется в бесконечное пространство вне окружности.
Вот такое удивительное свойство, похожее на магию.
Но делается это очень просто: три точки - центр окружности инверсии с радиусом R (т.н. полюс инверсии) - точка O, исходная точка P и точка P', в которую она переходит, лежат на одном луче OP, и при этом:
|OP| * |OP'| = R*R
Древние греки умели находить взаимное отображение точек при инверсии без всяких вычислений - с помощью циркуля и линейки. Любители подумать могут посмотреть на рисунок и понять как это сделать (представьте, что вы подсмотрели чертёж на песке, который нарисовал прутиком Папп Александрийский):
При этом соблюдаются свойства (цитата из Ruwiki - здесь только самые понятные свойства):
- Если точка P переходит в точку Q, то и точка Q переходит в точку P.
- Прямая, проходящая через O, переходит в себя.
- Прямая, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O; и обратно, окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O.
Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O (при этом образ её центра не является центром образа).
- Инверсия сохраняет углы между кривыми и меняет ориентацию (что бы это слово ни значило в математике).
Пример инверсии - программа для цепи Паппа
Ну а теперь сама программа - она находится здесь.
Программа рисует цепь Паппа, преображённую с помощью инверсии.
Окружность инверсии и полюс инверсии изображаются красным цветом. (Цвета элементов, конечно, могут меняться с помощью настроек программы).
Если полюс инверсии лежит на окружностях, между которыми строится цепь Паппа, эти две окружности инвертируются в параллельные прямые согласно свойствам инверсии. Соответственно, все окружности цепи Паппа инвертируются в ряд одинаковых окружностей, которые лежат между этими параллельными прямыми:
Можно менять радиус окружности инверсии и двигать её центр влево для наблюдения эффекта и результата инверсии:
Спасибо за внимание. -0-