Меня всегда поражала мощь языка математики. Нет, то что на нём можно поговорить о движении планет или о ячейках Бенара, (да о всём «неживом») я уже давно привык. Но толковые объяснения, философствования на тему живого, тварного мира не перестают изумлять. О роли зависти в модели возникновении имущественного неравенства я уже писал (https://dzen.ru/a/ZhzplWydETyY0nMT). А как Вам такое МАТЕМАТИЧЕСКО Е утверждение: Сделав неправильное предположение можно доказать любую глупость. Рассел сформулировал более строго: « если множество аксиом противоречиво, то любое утверждение доказуемо на их основе» и тут же из 1=0 доказал, что любой пришедший на лекцию есть Папа Римский.
Возможно Вы уже догадались, – речь пойдёт о теоремах Гёделя. Мало того, что эти теоремы фантастичны по содержанию и способу доказательства (не скажу, что всё понял), за последние 100 лет благодаря научпопу они обросли совершенно сенсационными интерпретациями. Я попробую пересказать понятое из двух книжек: Gustavo Ernesto Pineiro , “У интуиции есть своя логика. Гёдель”и Хофштадтер; “ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ.”
Приведу формулировки теорем:
I. При любом заданном множестве аксиом арифметики всегда будет существовать истинное арифметическое высказывание, которое невозможно доказать на основе этих аксиом, если пользоваться только теми методами доказательства, которые удовлетворяют программе Гильберта.
II. Невозможно алгоритмически проверить истинность множества арифметических аксиом.
Каково? На первый взгляд это означает, что сколько бы правильных аксиом вы не придумали, вывести из них ВСЕ правильные следствия не получится, что-то от вас да скроется. Более того, придумывая правильные аксиомы, вы знаете – проверить их правильность невозможно. Но это же приговор всей европейской науке от Эвклида до наших дней!? Или, как было написано в одном коменте, – всё что я поняла, учёные ничего не понимают.
Для начала неплохо было бы понять как можно доказать столь общие утверждения. Но я даже не буду пытаться доказать теоремы о неполноте.
Разве что скажу — первая не столь уж неожиданна на уровне бытовых рассуждений. Действительно, надо показать – среди высказываний существует такое: «Я недоказуемо». Оно не может быть ложным, поскольку получено по всем правильным правилам. Значит оно истинно и следовательно недоказуемо.
А как выводить правильные высказывания (теоремы)? Намекну только на подход к решению, приведя пример абстрактной системы построенной всего на одном правиле.
Рассмотрим систему из трёх символов: P , R и тире - . Определим: «xP-Rx-»- является аксиомой, если х состоит из одинакового числа тире. Добавим правило вывода (обычно это логика, но мы берём что попроще) : Пусть x, у и z — строчки, состоящие только из тире и пусть «xPyRz» является теоремой. Тогда «xPy-Rz-» также будет теоремой. Легко убедиться, что если « -P--R---»
является теоремой, то «-P---R----» также будет теоремой. Т.о. мы можем задать строчки из “P” , “R”, “-”; назвать их аксиомами и по правилу вывода строить теоремы. То, что смысла в этих строчках нет, значения не имеет. В математической логике понятие, связанное с последовательностью символов, считается синтаксическим, если оно зависит только от символов, образующих эту последовательность, при этом неважно его значение (если оно вообще существует). Всё что нам нужно, проверить выводима ли последовательность знаков из аксиом (является ли теоремой). Гёдель нашел способ кодификации строчек знаков и возможность определять истинность теорем-строчек по этим числовым кодам.
Именно такого рода формальные построения, да ещё потребовав КОНЕЧНОЕ число шагов для проверки истинности, использовал Гёдель. Именно это означают слова о «программе Гильберта». Ещё одно ограничение – речь идёт только об арифметике. Арифметика была выбрана Гильбертом как самый простой ( «Бог создал целые числа, все остальное дело рук человека» (Кронекер)) объект, на котором можно обкатать «программу Гильберта» – возможность формального (аксиоматического) построения науки.
А раз так, то не стоит обобщать теоремы о неполноте до формулировки: «Бесконечный мир невозможно описать на основе конечного числа аксиом». , Ссылаясь на Гёделя, полезно помнить об ограничениях формального подхода, арифметике и конечном числе ходов. Только в этом смысле и работает теорема о полноте, и именно с этими ограничениями возникает по Гёделю утверждение о существовании недоказуемой истины.
Но ничто не мешает отказаться от метода Гильберта. Даже в нашей системе “P,R, - “мы можем придать получаемым строчкам-теоремам смысл. Трактуем: P –плюс; R – результат; количество тире — натуральное число. Тогда « -P- -R- - -» можно интерпретировать - «1+2=3». Но интерпретация вещь неоднозначная. Как только вы придали последовательности символов смысл (сделали её семантической), Вы вынуждены начать объяснять каждое слово используемое в интерпретации, т. е. заняться расширением аксиоматики, а это занятие может оказаться бесконечным (и неочевидным). Однако, интерпретируя, мы расширяем свои возможности доказывать и, продвигаясь вперёд, доказывать по человечески увёртливо. Посмотрим на утверждение: «Все тела состоят из атомов». Правильное высказывание? Правильное. Но как изменилось понятие «атом» с времён Демокрита! Тогда атом был кирпичом, у Томсона он стал пудингом, у Розерфорда походил на Солнечную систему, у Бора приобрёл квантово-механические очертания…. Каждая новая интерпретация создавала новые возможности для понимания свойств окружающего мира, новые возможности для движения вглубь атома и даже представлений о эволюции Вселенной.
Но вернёмся к математике. Теорема I говорит о наличии хотя бы одного истинного, но недоказуемого высказывания. Но что мы называем «доказуемым»? МОЖНО вывернуться так – «доказуемое» понятие относительное. То, что его нельзя доказать с ограничениями Гильберта, не означает невозможность доказательства другими методами. Но, увы, механически его уже не проверить.
Ещё один любопытный поворот возникает в связи с понятием «противоречивый». Если все аксиомы истины, то они непротиворечивы. Из истинных предпосылок получаем истинные выводы, т. е. из двух высказываний Р и не-Р истинно только одно (ложное недоказуемо). Так? Не совсем. Множество аксиом непротиворечиво, если существует КАКОЙ-НИБУДЬ МИР, в котором все аксиомы — истинные высказывания. Что значит МИР? Приведу не слишком корректный пример. Высказывание «2 простое число» - истинно (2=2*1). Но истинно в мире натуральных чисел. Расширим его до мира чисел равных «N+M*√2 » (M&N натуральные или 0; 3 = 3 + 0*√2 ). В этом мире 2=√2 *√2 и уже не простое. Историю с пятой аксиомой Эвклида не напоминает? А разговоры о мультивселенной? Получается, что противоречивой надо считать только такую систему аксиом, для которой не удаётся найти НИ ОДНОГО МИРА, где она была бы непротиворечива.
Надеюсь мне ещё не удалось никого запутать. Поэтому не буду рассказывать про актуальные бесконечности и самореференцию. Ссылки на книжки я дал. Не удержусь и приведу иллюстрацию из Хофштадтера (Эшер. Относительность):
