Первые три раздела, с которых обычно начинают изучать высшую математику, - это матанализ, аналитическая геометрия и линейная алгебра. Последняя будет крайне полезна нам для последующего рассмотрения общей алгебры, потому именно её мы начнём рассматривать в данной статье.
Если говорить точнее, в данной статье мы рассмотрим самые базовые операции с векторами, а в следующей мы рассмотрим матрицы. Итак, поехали!
СОДЕРЖАНИЕ
— Что такое вектор?
— Операции с векторами:
—— Какие векторы равны?
—— Как складывать векторы?
—— Как вычитать векторы?
—— Как умножить вектор на скаляр?
—— Что такое скалярное произведение?
—— Как найти длину вектора?
—— Как найти угол между векторами?
— Некоторые приложения векторов:
—— Как векторы используются в физике?
—— Как векторы используются в биологии?
—— Как векторы используются в теории вероятности?
— Заключение
— Упражнения для закрепления материала
ЧТО ТАКОЕ ВЕКТОР?
Пожалуй, понятие вектора - самое основное в линейной алгебре, и практически всё остальное можно объяснить через него.
Вектор - это элемент векторного пространства.
Замечательно - мы только начали, а нам уже встретился незнакомый термин. Понятие векторного пространства - уже вещь напрямую из Общей Алгебры, ведь векторное пространство - не какой-то конкретный объект, а вид структуры объекта, набор его свойств и правил их работы. Пока что мы ещё не углубляемся в саму Общую Алгебру, потому на данный момент ограничим наше понимание вектора до числового вектора, который, обходя понятия векторного пространства, определим так:
Числовой вектор v - некоторый математический объект, который можно представить в виде кортежа чисел, для которого определены операции сложения двух векторов, умножения вектора на скаляр (число) и скалярного произведения двух векторов. Если представление v в виде кортежа чисел имеет вид (v1, v2, v3, … , vn), то числа v1, v2, v3, … , vn называют первым, вторым, третьим и так далее элементами вектора v.
Это определение абсолютно нестрогое, да и упускает множество подробностей о векторах, но вкупе с последующим объяснением сути вектора в ходе статьи главная задача читателя - сформировать концептуальное понимание понятия «вектор».
Зачастую вектор записывается в виде вертикального столбца, где сверху вниз указаны его элементы. Пример:
Вообще говоря, поскольку числовой вектор отождествляется с кортежем, одним из самых естественных способов представления о векторе будет попытка «впихнуть» много объектов поменьше (чисел) в один объект побольше (вектор), и работать сразу со многими числами, а не с каждым по отдельности. По сути, числовой вектор можно грубо, но назвать «многомерным числом».
Когда мы не понимаем какой-то математический объект, имеет смысл попробовать его нарисовать или начертить. С комплексными числами в предыдущей статье цикла это сработало. Давайте попробуем это сделать и с векторами! Итак, как же мы можем это сделать? Вспомним, что всякую точку на плоскости можно поставить в однозначное соответствие с кортежем (x, y), где x и y - координаты точки на плоскости. Значит, каждой точке P = (x, y) мы можем сопоставить вектор p, чьим первым элементом будет x, а вторым - y. Тогда для точек A = (2, -3), B = (6, 0) и С = (-3, 2) имеем следующие векторы a, b и c:
И на плоскости имеем следующую визуализацию векторов:
Думаю, теперь читатель может визуально представлять себе векторы из двух элементов. Аналогичным образом точки D = (1, 2, 3), E = (4, 1, 2) и F = (-3, 2, -1) в пространстве можно поставить в соответствие с векторами d, e и f:
В пространстве (и его проекциях) имеем следующую визуализацию:
Однако достаточно часто - особенно вне непосредственного изучения линейной алгебры - вектор могут определять просто как «некоторый объект, характеризуемый величиной и направлением», то есть, как некоторую стрелку, что указывает в определённом направлении, и имеющую определённую длину. В таком случае наши визуализации можно доработать, ведь представление о векторах, как стрелках, а не точках, поможет нам в дальнейшем осознании операций с векторами. Поскольку нам, в целом, не важно, откуда исходит стрелка, соответствующая вектору, если она сохраняет необходимое направление и длину, мы будем изображать эти стрелки, как исходящие из начала координат.
Конечно, бывают и векторы с бесконечным числом элементов, которые можно отождествлять с бесконечными последовательностями, но, думаю, каждый такие последовательности видел и рисовать бесконечномерное пространство смысла не имеет. Однако, как пример, последовательность чисел Фибоначчи, начинающуюся с «1», мы можем задать, как вектор:
Теперь, имея некоторое представление о векторах, мы наконец можем приступить к изучению операций с ними.
ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРАМИ
В примерах к дальнейшим операциям мы будем «таскать» векторы a, b, c, d, e и f из плоскости и пространства из материала выше.
КАКИЕ ВЕКТОРЫ РАВНЫ?
Равными называют векторы, все соответственные элементы которых совпадают.
Это довольно очевидное, но формально необходимое утверждение. То есть, если у векторов x и y и первые, и вторые, и третьи и так далее элементы совпадают, то они, очевидно, равны.
КАК СКЛАДЫВАТЬ ВЕКТОРЫ?
Если два вектора x и y имеют одинаковое количество элементов, то суммой векторов x и y будет такой вектор z, что его первым, вторым, третьим и так далее элементами будут сумма первых элементов x и y, вторых элементов x и y, третьих элементов x и y, и так далее, соответственно. Сумма векторов x и y обозначается x + y.
То есть, например, для векторов a и b сумма a + b будет выглядеть так:
То есть, складывая векторы a и b, получаем вектор с первым элементом 3 и вторым элементом 2.
Из того, что для определения суммы векторов используется сумма обычных чисел, мы получаем, что a + b = b + a, то есть:
Операция сложения векторов коммутативна: для любых векторов с одинаковым числом элементов x и y верно x + y = y + x.
Хотя и такой «алгебраический» способ описания сложения векторов достаточно несложен, есть ещё один довольно интересный способ. Если мы вспомним, что векторы можно представить, как стрелки с определённым направлением и длиной и не важно какой точкой начала, то верно:
Для сложения векторов действует правило треугольника: если из конца вектора x пустить вектор y, то вектор, начало которого - начало x, а конец - конец y, является вектором x + y
Визуально данное правило выглядит так:
(Вообще, есть ещё и аналогичное правило параллелограмма, но оно, по сути, включает в себя просто два раза применённое правило треугольника)
Например, так будет выглядеть сложение векторов a и b:
КАК ВЫЧИТАТЬ ВЕКТОРЫ?
Если два вектора x и y имеют одинаковое количество элементов, то их разностью называется вектор z такой, что его первым, вторым, третьим и так далее элементом является разность первых элементов x и y, вторых элементов x и y, третьих элементов x и y и так далее, соответственно. Разность векторов x и y обозначается x - y.
Например, для векторов a и c разность будет выглядеть так:
Очевидно, что операция вычитания векторов не коммутативна.
Аналогично сложению, существует и «геометрический» способ вычитания векторов:
Если от конца вектора x отложить вектор u, равный по длине и противоположный по направлению вектору y, то, соединив начало вектора x и конец вектора u, получим вектор x - y.
Таким образом разность векторов a и c будет выглядеть следующим образом:
КАК УМНОЖИТЬ ВЕКТОР НА СКАЛЯР?
Сначала определим, что скаляр - некоторое число. На самом деле понятие «скаляр» уходит корнями в определение векторного пространства, так что ограничимся более простой формулировкой.
Произведением вектора x на скаляр c является вектор z такой, что все элементы z являются соответственными элементами x, умноженными на c. Произведение вектора x на скаляр c обозначается cx.
Нетрудно заметить, что для определения умножения вектора на скаляр используется коммутативная операция умножения чисел, потому делаем вывод:
Операция умножения вектора на скаляр коммутативна: для любого вектора x и скаляра c верно cx = xc.
Например, умножение вектора a на скаляр p = 2 выглядит так:
Да, здесь тоже есть «геометрический» метод:
Результат умножения вектора x на скаляр c является вектор длины, равной длине x, умноженной на |c|, и направления, совпадающего с x, если c > 0, или противоположного x, если c < 0.
То есть, результат умножения вектора a на p = 2 и r = -2 выглядит так:
Притом, как и с просто числами, с векторами работает идея об алгебраической сумме: разность x - y является тем же самым, что и сумма x + (-y). (Подумайте, как связано громоздкое «геометрическое» правило разности векторов и этот факт)
ЧТО ТАКОЕ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ?
Скалярное произведение - самое главное свойство векторов, которое, по сути, и отличает векторы от простого набора чисел. Опять же, и скалярное произведение вообще определяется абстрактно, но мы ограничимся простейшим определением для числового вектора:
Скалярным произведением двух векторов x и y называют число c, равное сумме произведений соответственных элементов x и y. Скалярное произведение векторов x и y обозначают x · y.
Поскольку для определения такого скалярного произведения используются коммутативные умножение и сложение, можем сказать:
Скалярное произведение коммутативно: x · y = y · x для любых векторов x и y.
То есть, скалярные произведения a · b, a · c и b · c будут:
Как найти длину вектора?
Поскольку числовые векторы так хорошо изображаются на декартовой плоскости, их длина определяется соответствующе:
Длиной, модулем или нормой числового вектора x называют величину, равную корню квадратному из суммы квадратов его элементов. Модуль и длину в отношении к числовому вектору x обозначают |x|, а норму - ||x||.
На самом деле понятие «норма» больше относится к абстрактным примерам векторов, нежели к числовым векторам, потому мы пока что будем пользоваться модулем и длиной.
Можно заметить, что определение длины вектора из n элементов полностью совпадает с n-мерной теоремой Пифагора. Модуль числового вектора определён так абсолютно намеренно, ведь вектор представим, как отрезок, проведённый между началом координат и точкой конца вектора, а в таком случае длина такого отрезка, а значит и вектора, определяется именно теоремой Пифагора.
Если подумать ещё крепче, можно заметить, что такое определение модуля вектора удовлетворяет равенству:
Обращаясь к нашим векторам, имеем следующие значения |a|, |b|, |c|, |d|:
Из свойств умножения вектора на скаляр или определения скалярного произведения имеем:
Для любого вектора x и скаляра c верно |cx| = |c||x|
КАК НАЙТИ УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ?
Теперь мы пришли к свойству, которое работает исключительно только для числовых векторов, которые соответствуют стрелками на плоскости:
Косинус угла между векторами x и y равен:
Поскольку мы понимаем, что cos α = cos (2π - α), используя формулу нахождения косинуса между двумя векторами на плоскости, мы можем однозначно определить и угол между этими векторами.
Например, для векторов a и b, c и b:
Вот мы и рассмотрели самые основные действия с векторами.
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ
На самом деле, в связи с сущностью векторов, как объектов, способных в себя вобрать некоторое количество объектов поменьше, векторы часто можно найти в приложениях самого разного рода.
КАК ВЕКТОРЫ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ В ФИЗИКЕ?
На самом деле почти вся физика переведена в «векторный вид», ведь уже со школьной скамьи мы знаем, что силы являются векторами, как и скорость, как и ускорение, да и оба закона Ньютона имеют векторный вид. Например, вот как выглядит схема сил, действующих на некоторое тело, которое тянут под углом ко столу, на котором тело лежит:
Но также вектор может представлять просто совокупность сразу нескольких параметров, описывающих состояние системы. Например, колебательный контур, состоящий из катушки постоянной индуктивности и конденсатор постоянной ёмкости, может быть описан вектором, содержащим своими элементами напряжение в момент времени t и силу тока в момент времени t.
КАК ВЕКТОРЫ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ В БИОЛОГИИ?
В биологии при помощи вектора можно описать, например, состояние экологической системы, как количества особей различных видов, представленные в качестве элементов, в некоторый момент времени t.
Также при помощи вектора в биологии мы можем описать возрастную структуру популяции, где в векторе элементами будут количества особей определённого возраста в некоторый момент времени t.
КАК ВЕКТОРЫ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
В теории вероятности элементами вектора могут быть вероятности наступления некоторых событий. В таком случае суммой всех элементов вектора будет единица.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Вот и окончена данная статья. В ней мы рассмотрели основные действия, которые можно произвести с числовыми векторами. В следующей статье мы перейдём к матрицам, их видам и действиям с ними.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ЗАКРЕПЛЕНИЯ МАТЕРИАЛА
Для выполнения упражнений примите следующие значения векторов:
- Изобразите все приведённые векторы на плоскости или в пространстве в виде стрелок
- Найдите все попарные суммы, разности и скалярные произведения векторов, которые имеют одинаковое число элементов
- Найдите результат умножения каждого из приведённых векторов на скаляр 2, 1 и -1.
- Найдите длину каждого из приведённых векторов.
- Со звёздочкой. Помимо перечисления элементов вектора из двух элементов, мы также можем представить вектор в полярной форме, то есть, представить координаты конечной его точки в форме радиус-вектора, умноженного на тригонометрическую функцию. Например, для некоторого вектора v такого, что его первый элемент - x, а второй - y, можно сказать, что x = |v| cos α и y = |v| sin α, где α - угол против часовой стрелки между вектором и положительным направлением оси абсцисс. Зная это, докажите формулу, связывающую модули и скалярные произведения произвольных векторов m и n с двумя элементами, и косинус угла между этими самыми векторами.
- Приложение. Совмещая знания физики и математики, объясните, почему третий закон Ньютона записывается в векторном виде
- Приложение. Совмещая знания экологии и математики, составьте вектор с элементами-переменными, который мог бы описать популяцию, состоящую из a% юных особей, b% старших особей и c% старых особей. Что можно сказать о сумме элементов полученного вектора?
- Число 0 - важное число в математике, потому следует обращать внимание на случаи, когда оно «появляется». Для пар векторов на изображении ниже покажите, что их скалярное произведение равно 0, и предположите, как связано взаимное расположение векторов и их скалярное произведение, равное 0. Обдумайте последнее предположение, используя формулу косинуса угла между векторами на плоскости.
9. Решите уравнения относительно t и изобразите на плоскости пару векторов, входящих в формулировку уравнения:
Благодарю за внимание!