Каждый человек в мире, кроме людей племени Пираха, знает, что такое натуральное число (например, 2), или, по крайней мере, понимает его смысл. Ученики школ изучают, что такое целое или рациональное число. Математики и другие учёные или инженеры почти каждый день имеют дело с действительными числами, среди которых важнейшие константы π и e. Но многие слышали, что есть некоторые «комплексные числа», которые, кажется, расширяют действительные числа ещё больше.
В этой статье мы рассмотрим следующие вопросы:
- Ко́мплексные или компле́ксные?
- Как прийти к необходимости комплексных чисел?
- Что такое мнимая единица?
- Что такое комплексное число?
- Как представить комплексное число?
- Каковы составляющие комплексного числа?
- Арифметические операции с комплексными числами:
- --- Когда комплексные числа равны?
- --- Как складывать и вычитать комплексные числа?
- --- Как умножать комплексные числа?
- --- Как возводить в степень комплексные числа?
- --- Что такое сопряжённое комплексное число?
- --- Как делить комплексные числа?
- --- Как брать корень комплексного числа?
- Лучшая система чисел:
- --- Почему комплексные числа - лучшая числовая система?
- --- Какие недостатки есть у комплексных чисел?
- Места встречи с комплексными числами:
- --- Как комплексные числа создают фракталы?
- --- Как комплексные числа используются в Математическом Анализе?
- Как возвести треугольник в квадрат?
Во второй статье изучение комплексных чисел продолжится. В конце этих двух статей, как всегда, будут предложены некоторые упражнения для закрепления материала и самостоятельного размышления. Что ж, приступим!
Ко́мплексные или компле́ксные?
Пока мы не погрузились в «матчасть», следует обсудить этот момент. В среде математиков ходит присказка: «Ко́мплексным может быть только обед, а числа - компле́ксные». С вами, конечно, математики не перестанут разговаривать, если вы будете говорить с ударением на «о», но в среде математиков принято говорить именно с ударением на «е».
Как прийти к необходимости комплексных чисел?
Практически все новые числовые системы создавались из-за того, что прошлые не поддерживали какие-то операции со своими элементами.
Натуральные числа N, в целом, получаются прибавлением единицы к 1 (или 0 в зарубежной традиции) какое-либо конечное количество раз. Мы можем абсолютно спокойно складывать и умножать между собой натуральные числа и получать натуральные число. Можно даже возвести натуральное число в степень натурального числа и получить натуральное число. Если же мы попытаемся, например, вычислить (2 - 8), то получим какое-то число, которого нет среди натуральных, ведь его нельзя получить прибавлением 1 к 1 (или к 0) каким-либо количеством раз. Причём, такое число явно не одно. Было решено создать новую числовую систему, названную целыми числами, чтобы вычитание не вызывало проблем.
Целые числа Z можно получить прибавляя к 0 или вычитая из 0 единицу какое-то конечное конечное количество раз. В целых числах мы уже можем как складывать, так и умножать, так и вычитать, даже возводить в степень, не опасаясь того, что получим какое-то нецелое число. А что будет, если мы попробуем вычислить (1 / 2)? Это будет какое-то нецелое число, ведь его невозможно получить, прибавляя к 0 или вычитая из 0 хоть какое количество единиц. Такое число явно не одно. Было решено создать новую числовую систему, названную рациональными числами.
Рациональные числа Q - это числа, которые можно представить в виде несократимой дроби с целым числителем и целым ненулевым знаменателем. Рациональные числа можно уже и складывать, и умножать, и вычитать, и делить, и возводить в степень, получая рациональные число - ну прямо сказка! Но что будет, если мы попробуем посчитать √2? Как оказывается, такое число невозможно представить, как рациональное! Говорят, человека, который это доказал, утопили Пифагорейцы. Позже было доказано, что такие известные математические константы, как π и e, тоже не рациональны. Значения логарифмов и тригонометрических функций во многих точках оказались не рациональными. Так как же мы можем работать с ними, если они не входят в нашу числовую систему? На основе необходимости использования корней из неотрицательных чисел и использования различных математических констант и функций была создана система действительных чисел.
Действительные числа R - это фундамент, на котором стоит весь Анализ Функций Действительной Переменной, который применяется везде: от чистой математики до физики или биологии. Действительные числа непрерывны: какое бы малое расстояние мы не отступили от действительного числа, мы вновь попадём в действительное число. В этой системе мы уже можем почти всё: и складывать, и вычитать, и умножать, и делить, и возводить в степень, и брать корень неотрицательного числа! Ну чего вам ещё надо для счастья, математики?!
А как нам вычислить квадратный корень, скажем, из -1? Или -8? Или корень шестой степени из -pi? Квадрат любого действительного числа неотрицателен, напомню. Оказалось, что полная числовая система действительных не настолько идеальная, как могло показаться. Вот этот недочёт, Ахиллесова пята действительных чисел как раз положил начало новой числовой системе, которая включала бы в себя корни чётных степеней - комплексным числам C.
Что такое мнимая единица?
(Далее будет использоваться обозначение корня n-ной (n ≠ 2) степени из x, как x^(1/n), и квадратный корень x, как sqrt(x), ввиду ограниченности моей клавиатуры)
Теперь, допуская, что мы можем брать корни чётных степеней из отрицательных чисел, проведём следующие манипуляции.
Пусть у нас есть отрицательное действительное число -x, где x, конечно же, положительно. Корень чётной степени n = 2k из него мы можем записать, как (-x)^(1/n) = (-1)^(1/n) * (x)^(1/n) = ( (-1)^(½) )^(1/k) * (x)^(1/n). С корнем из x справа всё понятно. А вот слева (выделено жирным шрифтом) мы получаем какое-то число - корень квадратный из -1. Очевидно, оно не действительное, а уже комплексное. Дадим этому числу определение и обозначение:
Мнимая единица i - это некоторое число такое, что i² = -1.
(Почему в определении фигурирует возведение в квадрат, а не взятие корня, будет понятно позднее)
На самом деле, очень многие математики сетуют на прилагательное «мнимая». У англоговорящих всё ещё хуже, ведь у них i вовсе называется «imaginary», то есть буквально «воображаемый».
Стоит отметить, что из определения мнимой единицы следует следующее свойство:
В зависимости от остатка при делении целого n на 4, число i^n принимает исключительно значения:
- 1 про остатке равном 0
- i при остатке равном 1
- -1 при остатке равном 2
- -i при остатке равном 3
Мнимая единица - один из двух (помимо действительных чисел) строительных кирпичиков комплексных чисел.
Что такое комплексное число?
Итак, теперь, когда у нас есть в арсенале мнимая единица i, мы можем приступить к самим комплексным числам:
Комплексным числом z называют некоторое число a + bi, где a, b ∈ R и i - мнимая единица.
Традиционно принято обозначать комплексные числа, как z (по аналогии с x и y в действительных числах) или c (от зарубежного «complex»).
Можно заметить, что любое действительное число мы можем представить, как комплексное, где коэффициент b равен 0. Аналогично мнимую единицу можно представить, как 0 + 1*i.
Как представить комплексное число?
Нетрудно заметить, что любое действительное число можно вполне эффективно представить одним числом - им самим. Комплексное же число z = a + bi можно не менее эффективно представить, как упорядоченную пару чисел (a, b).
Любое действительное число можно представить, как некоторую точку на числовой прямой, где обозначен 0 и единичный отрезок. Например, вот представления 1, 0, -1, ½ и π на числовой прямой:
Где же здесь поместить хотя бы мнимую единицу i? Нигде! Как мы помним, действительные числа обладают свойством полноты (или непрерывности), то есть, где бы мы не попытались «впихнуть» мнимую единицу, эта точка уже будет занята каким-то действительным числом. Какой выход?
Как было отмечено чуть выше, комплексное число z = a + bi можно поставить в соответствие с упорядоченной парой чисел (a, b). Что ещё мы можем так записывать? Точки на плоскости! Например, числам i, 2 + 3i и π + ei мы можем поставить в соответствие точки (0, 1), (2, 3) и (π, e) и отобразить их на плоскости:
Именно из-за того, что комплексные числа образуют плоскость, подобно действительной прямой, иногда оперируют и термином «комплексная плоскость», как обозначением множества всех комплексных чисел C.
Если мы можем отобразить комплексные числа, как точку в декартовых координатах, то мы можем отобразить их и в полярных координатах!
Каковы составляющие комплексного числа?
Теперь, когда мы понимаем, что такое комплексное число и как его можно визуализировать, мы можем разобрать его на «составляющие».
Действительной и мнимой частью комплексного числа z = a + bi называют числа a и b, соответственно. Действительная часть числа z обозначается Re(z), мнимая - как Im(z).
Из геометрического смысла Re(z) и Im(z) вытекают ещё две составляющие:
Первой и второй координатой/проекцией комплексного числа z называют числа Re(z) и Im(z), соответственно.
Думаю, смысл всех этих составляющих вполне понятен. На примере можно отметить, что если z = 2 + 3i, то Re(z) = 2 и Im(z) = 3 (Ни в коем случае не 3i - нужна только действительная часть). Из этих двух характеристик мы можем сопоставить любое комплексное число z с точкой (Re(z), Im(z)) на двумерной плоскости. Также, зная Re(z) и Im(z) мы можем «восстановить» само число z, как z = Re(z) + Im(z) i.
Абсолютно аналогично тому, как мы переводим точки с декартовыми координатами x и y в точки с радиус-вектором r и углом поворота φ, мы можем перевести точку в комплексной плоскости из декартовых координат в полярные координаты.
Модулем комплексного числа z называют число sqrt( (Re(z))² + (Im(z))² ). Модуль комплексного числа z обозначается |z| и означает расстояние между точкой (Re(z), Im(z)) и началом координат.
Нетрудно заметить что в определении модуля фактически фигурирует теорема Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами Re(z) и Im(z). К примеру, |3 + 4i| = sqrt(3² + 4²) = 5.
Аргументом комплексного числа z называют угол (в радианах), который отрезок от начала координат до (Re(z), Im(z)) образует с положительным направлением оси абсцисс. Аргумент комплексного числа z обозначают Arg(z).
С обозначением аргумента может возникнуть путаница, ведь иногда вместе с Arg(z) может встретиться и arg(z). Если в тексте встречается и то, и другое обозначение, то зачастую через Arg(z) обозначают угол именно в промежутке [0, 2π), а через arg(z) либо множество всех подходящих числу z углов (то есть {Arg(z) + 2πn | n ∈ Z}), либо какой-то элемент этого множества (то есть некоторый угол Arg(z) + 2πn, где n ∈ Z).
Для некоторого комплексного числа z значение Arg(z) можно найти следующим образом:
- Если Re(z) > 0, то Arg(z) = arctg( Im(z) / Re(z) )
- Если Re(z) < 0 и Im(z) ≥ 0, то Arg(z) = arctg( Im(z) / Re(z) ) + π
- Если Re(z) < 0 и Im(z) < 0, то Arg(z) = arctg( Im(z) / Re(z) ) - π
- Если Re(z) = 0 и Im(z) > 0, то Arg(z) = π / 2
- Если Re(z) = 0 и Im(z) < 0, то Arg(z) = -π / 2
- Если Re(z) = Im(z) = 0, то Arg(z) не определён
Вообще говоря, иногда Arg(z) = atan2(Im(z), Re(z)), но atan2(y, x) - просто кусочная функция, заданная по принципу выше.
Можно заметить, что значение Arg(0) не определено, что, в целом, логично, ведь не понятно, как найти угол между прямой (ось абсцисс) и точкой (начало координат).
Например, если z = sqrt(3)/2 + ½ i, то Arg(z) = arctg(½ / (sqrt(3)/2)) = arctg(1/sqrt(3)) = π / 6.
Как и в случае с действительной и мнимой частью, мы можем восстановить оригинальное число z, зная |z| и Arg(z), как z = |z| * (cos(Arg(z)) + sin(Arg(z)) i). Правую часть с тригонометрическими функциями также часто обозначают e^(Arg(z) * i), то есть z = |z| * e^(Arg(z) * i).
(Если вы уже знаете, как раскладывать экспоненту, косинус и синус в ряд Тейлора, попробуйте, с учётом того, чему равен квадрат i, доказать e^(x*i) = cos x + i * sin x)
Вся эта нагрузка формулами, конечно, полезна, но гораздо легче просто разобраться, что же обозначают все эти параметры на примере прямоугольного треугольника:
(Стоит отметить, что такая визуализация подходит только для Re(z), Im(z) ≥ 0, но для первичного понимания концепций вполне подходит)
Арифметические операции с комплексными числами
Когда комплексные числа равны?
Это вполне очевидно, но всё равно довольно важно:
Два комплексных числа z и c cназывают равными тогда и только тогда, когда Re(z) = Re(c) и Im(z) = Im(c). В таком случае пишут z = c. В обратном случае говорят, что числа z и c не равны, и записывают z ≠ c.
Как складывать комплексные числа?
Когда мы складываем комплексные числа (или выполняем с ними иные действия), мы можем рассматривать запись комплексного числа в виде «суммы» действительной и мнимой части, как буквальную сумму двух действительных чисел, одно из которых умножено на неизвестную константу i.
Результат сложения двух комплексных чисел вычисляется так:
Суммой комплексных чисел a и b называют такое комплексное число, что его действительная и мнимая часть является суммой действительных и мнимых частей чисел a и b, соответственно. Сумму комплексных чисел a и b обозначают a + b. Фактически, a + b = ( Re(a) + Re(b) ) + ( Im(a) + Im(b) ) i.
Это свойство хотя и задано, как аксиома (как и прочие операции), может быть выведено, как буквальная сумма a и b: a + b = Re(a) + Im(a) i + Re(b) + Im(b) i = ( Re(a) + Re(b) ) + ( Im(a) + Im(b) ) i.
Например, если a = 2 + 3i и b = 1 - i, то a + b = (2 + 1) + (3 + (-1))i = 3 + 2i.
Из геометрической интерпретации комплексных чисел можно получить, что, представив комплексные числа a и b, как «векторы», для их сложения будут работать правила треугольника и параллелограмма:
Как вычитать комплексные числа?
Здесь всё аналогично определению суммы:
Разность комплексных чисел a и b называют комплексное число такое, что его действительная и мнимая часть является разность действительных и мнимых частей чисел a и b, соответственно. Разность комплексных чисел a и b обозначают a - b. Фактически, a - b = ( Re(a) - Re(b) ) + ( Im(a) - Im(b) ) i.
Разность можно доказать аналогично сумме.
Как умножать комплексные числа?
Произведением комплексных чисел a и b называют комплексное число c такое, что Re(c) = Re(a)*Re(b) - Im(a)*Im(b) и Im(c) = Re(a)*Im(b) + Im(a)*Re(b). Произведение комплексных чисел a и b обозначают a * b или ab. То есть, a*b = ( Re(a)*Re(b) - Im(a)*Im(b) ) + ( Re(a)*Im(b) + Im(a)*Re(b) ) i.
Произведение уже гораздо легче доказывать вместо запоминания правил, ведь здесь используется просто умножение двух двучленов: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = ac - bd + (ad + bc) i.
Частным случаем умножения комплексных чисел является умножение комплексного числа на действительное число (вернее, на число с мнимой частью равной 0). Если z = a + bi и d = d + 0i, то d * z = da + dbi.
Например, если a = 3 + 4i и b = 2 - i, то a * b = (3 + 4i)(2 - i) = 6 + 4 + 8i - 3i = 10 + 5i. Если притом c = 5, то c * b = 5(2 - i) = 10 - 5i.
Интересно посмотреть, что происходит с модулем и аргументом произведения комплексных чисел относительно модулей и аргументов множителей.
Модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей.
Аргумент произведения комплексных чисел равен сумме их аргументов
(Доказательство этих свойств достаточно простое, но притом интересное, потому я предоставлю его читателю. Для этого вам понадобятся записи комплексных чисел в «полярной» форме)
Как возводить в степень комплексные числа?
Поскольку возведение в n-ную равносильно умножению числа на самого себя, имеем:
Модулем n-ной степени комплексного числа является модуль исходного числа в n-ной степени.
Аргументом n-ной степени комплексного числа является аргумент исходного числа, умноженный на n
Данные свойства напрямую доказываются из свойств умножения комплексных чисел. Например, (1 + i)² должно иметь модуль, равный квадрату исходного (то есть 2), и аргумент, равный удвоенному исходному (то есть π / 2). Значит (1 + i)² = 2 * (cos (π / 2) + sin (π / 2) i) = 2i.
Что такое сопряжённое комплексное число?
Сопряжённым комплексному числу z называют число w такое, что Re(w) = Re(z) и Im(w) = -Im(z). Обычно сопряжённое число числу z обозначают, как z с чертой сверху.
Из геометрической интерпретации понятно, что сопряжённому числу соответствует точка, симметричная относительно оси абсцисс точке, соответствующей исходному числу.
Например, для числа 1 + i сопряжённым является 1 - i, для 2 + 3i это 2 - 3i и так далее.
Стоит отметить довольно важные свойства:
Произведение комплексного числа на сопряжённое ему всегда имеет мнимую часть, равную 0.
Модуль комплексного числа равен корню квадратному из произведения этого числа на сопряжённое ему.
Модуль сопряжённого числа равен модулю исходного комплексного числа
Аргумент сопряжённого числа равен разности 2π и аргумента исходного комплексного числа.
(Эти свойства также довольно простые в доказательстве, потому предоставлю их читателю)
Как делить комплексные числа?
Чтобы поделить одно комплексное число на другое можно воспользоваться двумя способами свойствами.
Первое свойство прямолинейно до комизма. Если у вас есть комплексные числа a и b, то их частное равно a / b... всё. В целом, никто не будет протестовать, что это не комплексное число, однако хотелось бы иметь форму, в которой можно было бы выделить действительную и мнимую часть. Поэтому:
Частное комплексных чисел a и b равно (aw)/(bw), где w - сопряжённое числу b число.
Одно из свойств сопряжённых чисел, доказанное чуть выше, заключается в том, что число, умноженное на сопряжённое себе, даёт в результате только «действительные» числа. Значит, если и числитель, и знаменатель a / b умножить на число, сопряжённое знаменателю, мнимая единица останется только в числителе (если останется вовсе).
(Поскольку произведение числа на сопряжённое ему всегда имеет одну и ту же форму, довольно несложно вывести общую «формулу» частного двух комплексных чисел. Предлагаю вывести её читателю)
Второе свойство заключается в том, что частное чисел, фактически, - умножение делимого на число, обратное делителю:
Частное комплексных чисел a и b равно a * b^(-1).
Думаю, данный способ не слишком практичен, но через него можно показать, что:
Модулем частного комплексных чисел является частное их модулей.
Аргументом частного комплексных чисел является разность их аргументов
Это доказывается из свойств модулей и аргументов степени и произведения.
Как брать корень комплексного числа?
А вот тут начинаются небольшие проблемы. Нет, корень комплексного числа всё ещё будет комплексным числом. Проблема в том, что у каждого комплексного числа по несколько комплексных корней, обладающих следующими свойствами:
Модуль каждого корня n-ной степени комплексного числа равен корню n-ной степени модуля исходного числа
Аргумент корня n-ной степени комплексного числа z равен одному из возможных значений (Arg(z) + 2πk)/n, где k - целое число, 0 ≤ k < n.
(Доказательство этих свойств предоставлю читателю. Вам следует вспомнить, что взятие корня n-ной степени равносильно возведению в степень 1/n и что кроме Arg(z) можно использовать любое значение Arg(z) + 2πk, где k - целое)
Из этих свойств следует, что:
У каждого комплексного числа имеется ровно n различных корней n-ной степени.
(К слову, именно поэтому в определении мнимой единицы фигурирует квадрат, ведь если бы мы определили "i = sqrt(-1)", то под i могли бы иметь как i, так и -i, ведь sqrt(-1) имеет так же два комплексных корня)
Лучшая система чисел
В английской среде часто слышна фраза «hexagons are bestagons», дословно «шестиугольники - лучшеугольники». Этому приводят доказательства, этому приводят опровержения, но в большинстве случаев шестиугольники действительно оказываются наилучшей формой.
Аналогично можно сказать, что комплексные числа - лучшие числа. Почему?
Почему комплексные числа - лучшая числовая система?
Пожалуй, самым важным свойством комплексных чисел является именно то, что какие бы операции мы к ним не применяли (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень или взятие корня), на выходе мы всё равно получим комплексное число. Это уже само по себе довольно крутое свойство, ведь мы уверены, что какое бы кошмарно-ужасное число бы у нас после вычислений не получилось, мы всё равно будем знать, что оно комплексное и обладает всеми свойствами комплексных чисел. Это называется замкнутостью множества комплексных чисел относительно всех перечисленных операций.
Но кроме «удобства» (на деле это не очень уж удобно) вычислений имеется одно свойство, вытекающее из вышеуказанного факта, которое стало настолько важным в своё время, что его назвали Основной Теоремой Алгебры:
Основная Теорема Алгебры: любой многочлен с комплексными коэффициенами имеет хотя бы один комплексный корень
В сочетании же с Теоремой Безу (если k - корень многочлена f(x), то f(x) = (x - k)g(x), где g(x) - многочлен на степень ниже, чем f(x)) через индукцию получается ещё более сильной утверждение:
Любой многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней
Всё. Не больше, не меньше. Ровно n корней (правда, одни и те же корни могут повторяться, но всё же). Здесь стоит вспомнить все те моменты, когда, решая в школе квадратные уравнения, мы писали: «Нет действительных решений». Действительных нет, зато комплексных целых два!
Cтоит отметить, что с использованием основной теоремы алгебры доказываются три довольно интересных утверждения:
- Любой многочлен f(x) степени n можно разложить, как f(x) = a(x-k1)(x-k2)(x-k3)…(x-kn), где a - старший коэффициент f(x), а k1, k2, k3, … , kn - корни многочлена.
- Любой многочлен f(x) степени n можно разложить, как m квадратных трёхчленов (вида x² + bx + c) и n - 2m линейных двучленов (вида x - k).
- Если комплексное число u является корнем многочлена f(x) (то есть f(u) = 0), то сопряжённое число t также является корнем многочлена f(x) (то есть f(t) = 0)
Предоставлю их доказательство читателю: для первого потребуется Теорема Безу, для второго разложение квадратного трёхчлена через дискриминант, для третьего - первые две теоремы. Абсолютно рекомендую доказывать их именно в приведённом порядке.
Также есть ещё одно свойство, которое совсем недавно использовалось на школьном этапе ВсОШ по математике:
- Если два многочлена f(x) и g(x) степеней не более n равны друг другу (то есть пересекаются) в более, чем n, точках, то они совпадают (то есть f(x) = g(x) для любого x).
Его можете также доказать используя Основную Теорему Алгебры с учётом того, что многочлен j(x) = 0 имеет бесконечно много корней.
Какие недостатки есть у комплексных чисел?
Но не всё идеально. Комплексные числа действительно чрезвычайно хороши, но у них есть фатальный недостаток - в них элементы не упорядочены. То есть, взяв два комплексных числа z и c мы не можем сказать, что z > c или c > z. Мы вообще не можем их сравнить, даже зная все их параметры.
И дело не в простом упорядочивании, ведь, как мы помним, |C| = |R|, а значит существует биекция f: R → C. Поскольку действительные числа упорядочены, мы могли бы определить, что z = f(a) > w = f(b) тогда и только тогда, когда a > b. Однако это не удовлетворяет аксиомам упорядоченного поля. То есть, проще говоря, (z > w) → (z + k > z + w) будет выполняться далеко не для всех комплексных z, w и k, а значит мы можем попробовать упорядочить комплексные числа, но толку от этого не будет никакого.
Места встречи с комплексными числами
Как комплексные числа создают фракталы?
Тема фракталов, думаю, уже излишне популяризирована, потому я лишь быстро пробегусь по ней.
Знаменитые фракталы: множества Жюлиа и Мандельброта - задаются, как определённые операции над комплексными числами.
Множество Жюлиа при параметре a, грубо говоря, - множество всех точек z комплексной плоскости таких, что последовательность c_(n+1) = c_n² + a не уходит в бесконечность, то есть предел модуля последовательности при n → +inf не равен бесконечности. При разных значениях a получаются разные по виду множества:
Если же брать для каждой точки c равное изначальной координате точки, мы получим множество Мандельброта, приближения которого можно легко найти в интернете:
Как комплексные числа используются в математическом анализе?
Вообще, в математическом анализе даже существует своеобразное "разделение" на теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, причём последний раздел в некоторых случаях имеет даже более удобные теоремы. Так, в случае функций действительного переменного дифференцируемость функции на интервале может нам сказать лишь о том, что она дополнительно также непрерывна на нём, однако в случае функции комплексного переменного так называемая голоморфность (аналог однократной дифференцируемости на открытой области определения для функций комплексного переменного) уже говорит не только о том, что функция также непрерывна на области определения, но также бесконечно дифференцируемая и аналитична, то есть раскладывается в ряд Тейлора.
Поскольку Математический Анализ повсеместно используется в физике, через последнюю Комплексный Анализ проникает в расчёты в реальном мире.
Как возвести треугольник в квадрат?
Скудность в описании применения комплексных чисел попытаюсь компенсировать небольшим шуточным разделом, который позволяет немного «побаловаться» с комплексными числами. Можете считать это вашим первым использованием функций комплексного переменного.
Итак, пусть имеется треугольник c вершинами в точках (0,0), (4,0) и (3, 0). Для дальнейшего будет удобно представить стороны такого треугольника функциями:
- Линия 1: x = 0, 0 ≤ y ≤ 3.
- Линия 2: y = 0, где 0 ≤ x ≤ 4.
- Линия 3: y = 3 - ¾x, где 0 ≤ x ≤ 4.
Что мы видим? Каждая точка треугольника задаётся на плоскости. Значит каждую точку можно сопоставить комплексному числу z = x + iy. Заменив координаты на соответствующие функции x(t) и y(t), получим:
- Линия 1: z = yi, где 0 ≤ y ≤ 3.
- Линия 2: z = x, где 0 ≤ x ≤ 4.
- Линия 3: z = x + (3 - ¾x) i, где 0 ≤ x ≤ 4.
А теперь попробуем «запихнуть» все эти точки, входящие в прямые, в функцию g(z) = z²:
- Линия 1: z' = g(z) = g(yi) = (yi)² = -y², где 0 ≤ y ≤ 3
- Линия 2: z' = g(z) = g(x) = x², где 0 ≤ x ≤ 4
- Линия 3: z' = g(z) = g(x + (3 - ¾x) i) = (x + (3 - ¾x) i)² = x² - (3 - ¾x)² + 2x(3 - ¾x) i = (7/16 * x² + 9/2 * x- 9) + (-3/2 * x² + 6x) i, где 0 ≤ t ≤ 4
И переведём комплексные числа обратно в точки на плоскости:
- Линия 1: x' = -y², y' = 0, где 0 ≤ y ≤ 3
- Линия 2: x' = x², y' = 0, где 0 ≤ x ≤ 4
- Линия 3: x' = 0,4375x² + 4,5x - 9, y' = -1,5x² + 6x, где 0 ≤ x ≤ 4.
Причём x в последнем уравнении рассматривается скорее как параметр.
Теперь изобразим треугольник изначальный на графике:
Можно заметить, что треугольник… Ну, мягко говоря, поменялся. Можно аналогично возвести треугольник в куб, возвести квадрат в квадрат, возвести круг в куб. Фактически, если обозначить изначальную фигуру, как множество всех её точек S, её образ g(S) как раз и будет получившейся фигурой.
Вот на последок тот же изначальный треугольник, но возведённый в 4 степень:
Итак, зная, какими правилами заданы все точки некоторой фигуры, мы можем всех их перевести в вид комплексных чисел, прогнать через некоторую функцию от комплексного переменного f(z) и вновь начертить образ на плоскости.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
И вот, мы наконец прошли практически весь базовый материал, который необходимо знать о комплексных числах. Мы затронули, как работать с ними, какие есть у них свойства и как можно «поиграться» с функциями комплексного переменного.
Благодарю всех за внимание! Ниже приведены некоторые упражнения для практики и закрепления материала из статьи:
УПРАЖНЕНИЯ:
- Определите значения Re(z), Im(z), |z| и Arg(z) для следующих чисел:
- (a) z = 1
- (b) z = i
- (c) z = 2 + 3i
- (d) z = sqrt(3)/2 + ½ i
- (e) z = 4sqrt(2) + 4sqrt(2) i
- Со звёздочкой. Докажите, что e^(ix) = cos x + i*sin x, используя разложение в ряд Тейлора экспоненты, синуса и косинуса
- Со звёздочкой. Докажите следующие свойства, связанные с модулем и аргументом результатов различных операций и модулями и аргументами исходных чисел: (Зачастую вам потребуется использовать либо свойства, доказанные в более ранних пунктах, либо взаимосвязи между формами записи z = Re(z) + Im(z) i и z = |z| * e^( i*Arg(z) ))
- (a) Модуль произведения равен произведению модулей.
- (b) Аргумент произведения равен сумме аргументов.
- (c) Модуль возведённого в положительную степень равен степени модуля.
- (d) Аргумент возведённого в положительную степень равен произведению аргумента на показатель степени.
- (e) Модуль обратного числа равен числу, обратному модулю.
- (f) Аргумент обратного числа равен числу, противоположному аргументу.
- (g) Модуль сопряжённого числа равен модулю исходного числа
- (h) Аргумент сопряжённого числа равен противоположному числу от аргумента исходного числа.
- (i) Модуль комплексного числа равен корню квадратному из произведения этого числа на сопряжённое ему.
- (j) Модуль частного равен частному модулей
- (k) Аргумент частного равен разности аргументов
- (l) Из пунктов i и k выведите общую формулу частного комплексных чисел x = a + bi и y = c + di.
- (m) Модуль корня равен корню модуля.
- (n) Аргумент корня n-ной степени равен одному из возможных значений (Arg(z) + 2πk) / n.
- Вычислите для a = 2 + 3i и b = 3 + 4i, c = sqrt(3)/2 + ½ i, d = ½ + sqrt(3)/2 * i:
- (a) a + b
- (b) a - b
- (c) a * b
- (d) a / b
- (e) b * c
- (f) 1 / b
- (g) a²
- (h) c³
- (i) sqrt(d)
- Со звёздочкой. Докажите следствия, вытекающие из Основной Теоремы Алгебры: (вам может потребоваться теорема Безу, разложение квадратного трёхчлена через дискриминант и факт того, что многочлен j(x) = 0 имеет бесконечно много корней)
- (a) Любой многочлен f(x) степени n можно разложить, как f(x) = a(x-k1)(x-k2)(x-k3)…(x-kn), где a - старший коэффициент f(x), а k1, k2, k3, … , kn - корни многочлена
- (b)Любой многочлен f(x) степени n можно разложить, как m квадратных трёхчленов (вида x² + bx + c) и n - 2m линейных двучленов (вида x - k).
- (c) Если комплексное число u является корнем многочлена f(x) (то есть f(u) = 0), то сопряжённое число t также является корнем многочлена f(x) (то есть f(t) = 0)
- (d) Если два многочлена f(x) и g(x) степеней не более n равны друг другу (то есть пересекаются) в более, чем n, точках, то они совпадают (то есть f(x) = g(x) для любого x).
- Придумайте, как можно упорядочить комплексные числа исходя из их характеристик. (просто чтобы для любых двух чисел z и w было верно свойство трихотомии отношения «больше»)
- Решите уравнения в комплексных числах и разложите исходных многочлен, как произведение линейных двучленов и квадратных трёхчленов:
- (a) x² + 2x + 6 = 0
- (b) ¼x² + 8x + 100 = 0
- (c) x³ + 5x² + 8x + 6 = 0
- (d) x^4 - 3x³ + 6x - 4 = 0
- Со звёздочкой. Решите неравенства в комплексных числах: (Вспомните, что в записи z = a + bi сами a и b - обычные действительные числа)
- (a) |x² + 2x + 2| > 0
- (b) |2x + 1| ≥ 2 (Подумайте где-то на середине решения над тем, что геометрически означает множество решений неравенства)
- Пусть L - множество всех точек на прямой y = 2x при 0 ≤ x ≤ 3 и g(z) = z² - функция от комплексного переменного. Начертите образ g(L) и сравните его с изначальной прямой. Подумайте, как это связано с доказанными выше свойствами возведения в степень комплексного числа
- Пусть O - множество всех точек единичной окружности на плоскости.
- (a) Пусть g(z) = z². Найдите образ g(O), сравните с изначальной окружностью
- (b) Пусть g(z) = z³. Найдите образ g(O), сравните с изначальной окружностью
- (c) Подумайте, имеется ли в пунктах выше закономерность. Если да, то какая и как она может быть связана со свойствами возведения в степень комплексного числа?
- Пусть K - множество всех точек круга радиусом 1 и с центром в (0, 0). Проведите анализ этого множества на изменения при отображениях, аналогично упражнению 48 и его подпунктам.
- Пусть S - квадрат со стороной 1, «левая-нижняя» точка которого совпадает с началом координат, и g(z) = z² - функция комплексного переменного. Начертите g(S) и сравните образ с изначальным квадратом.