🔷 ЗАЧЕМ МЫ ЭТО ИЗУЧАЕМ?
Секущие, хорды, касательные — всё это не просто линии на окружности. Через них раскрываются глубокие связи между углами и дугами, подобием треугольников и алгебраическими соотношениями отрезков. А главное — эти связи можно доказать, понять и применять. Они помогут вам решить экзаменационные задания (ОГЭ, ЕГЭ), а также будут в будущем помогать в инженерных расчетах, математическом моделировании, различных прикладных задачах.
В конце статьи - полная схема всех вариантов и формул.
🔶 1. Угол между секущими и связь с дугами окружности
Когда две секущие пересекаются, они образуют угол. И вот ключ:
📌 Угол между секущими равен:🔸 Половине разности дуг, если точка пересечения вне окружности;
🔸 Половине суммы дуг, если точка пересечения внутри окружности.
В первой формуле угол "альфа" равен половине разности мер мер дуг окружности, отсекаемых секущими.
Во второй формуле он равен полусумме соответствующих мер дуг окружности.
Давайте быстро докажем, почему это так.
Случай 1. Пересечение вне окружности
Для доказательства, как это нередко бывает, нам понадобятся дополнительные построения. Для первого случая пересечения вне окружности проведем, например, отрезок DC.
Тогда угол DCE будет равен половине дуги "икс", как вписанный угол. А угол BDC будет равен половине дуги "игрек" по той же причине. Если что, чуть позже напишу про дуги, а также центральные и вписанные углы окружности.
Далее, поскольку сумма угол треугольника (в том числе треугольника ADC) равна 180 градусам, запишем уравнение и получим, упростив, что "альфа" - это именно половина разности дуг "икс" и "игрек".
Случай 2. Пересечение внутри окружности
Здесь мы тоже делаем дополнительное построение, соединяем точки С и Е. Тогда угол DCE будет х/2, а угол BED будет равен y/2. Вот рисунок.
Поскольку "альфа" - внешний угол по отношению к треугольнику CAD, то он равен сумме двух углов, несмежных с ним. Откуда и получаем, что он является их полусуммой.
Еще один пограничный случай возникает, когда одна из секущих "вырождается" в касательную. Это является предельным случаем и поэтому формулы также работают. Но доказательство мы приведем в отдельной статье, где будем рассматривать именно касательную секущую. Схема же и формула представлена на рисунке.
Но кроме заданий на определение углов и дуг, мы нередко встречаем такие, в которых нужно знать соотношение сторон. Рассмотрим те же самые случае, но поговорим теперь про отрезки.
🔷 3. СЕКУЩИЕ, ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ВНЕ ОКРУЖНОСТИ
Теорема. При пересечении секущих окружности вне самой окружности, произведения длин отрезков от точки вне окружности до первого пересечения с окружностью и до второго пересечения по одному из лучей угла, равно соответствующему произведению по второму лучу угла.
Но проще будет понять из рисунка.
В предельном случае будем опять же иметь секущую и касательную. Тогда отрезок от точки вне окружности до касания касательной и окружности в той же формуле будет в квадрате:
Давайте докажем случай с двумя секущими окружности.
Для этого соединим отрезки BD и CF. И рассмотрим треугольники ABD и AFC. Здесь точно нет никаких известных нам отрезков, поэтому говорить о равенстве или пропорциональности нельзя. Единственное, на что можно опереться - это углы. Собственно, угол А - это один и тот же угол в обоих треугольниках. Если бы мы знали еще один угол, мы могли бы заявить об их подобии. Но можем ли мы сказать, что еще какие-то углы в двух треугольниках равны?
Да! И поможет нам в этом знание о том, что сумму противоположных углов вписанного четырехугольника всегда равна 180 градусам. Кстати, очень полезная теорема, рекомендую о ней не забывать. Доказывается просто, но лучше поговорим об этом в отдельной статье.
Итак, про угол "А" мы уже сказали. Далее доказательство равенство второго угла "гамма" в обоих треугольниках и вывод об их подобии:
Ну, а дальше - просто. Если есть подобные треугольники, то мы имеем и соотношение подобия соответствующих сторон. Важно только их не перепутать, когда треугольники как бы "переворачиваются", накладываясь друг на друга. Чтобы всегда все видеть ясно - обозначаем все углы. Подобные стороны - это те стороны, которые соединяют равные углы. В нашем случае AD/AC = AB/AF:
Теперь воспользуемся свойством пропорции - перемножим части дробей крест-накрест и приравняем. Да, того же эффекта добьемся, если сначала умножим обе части уравнения на AF, а затем на AC.
Как говорится, что и требовалось доказать! :)
А теперь рассмотрим доказательство второго случая.
🔷 2. СЕКУЩИЕ, ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ВНУТРИ ОКРУЖНОСТИ
В данном случае удобнее говорить об образовавшихся хордах окружности.
Теорема. При пересечении хорд окружности, произведения длин отрезков на которые точка пересечения делит одну хорду равно произведению длин отрезков, на которые точка пересечения дели другую хорду.
Опять же, проще понять из рисунка.
Давайте это также докажем. Для этого нам снова понадобится дополнительное построение. Соединим левые и правые точки и получим отрезки AC и BD. Таким образом у нас образовались треугольника АСК и BDK. Важно (!) - эти треугольники не являются вписанными!
Что мы в них имеем? Ну, первое, что бросается в глаза - это то, что вертикальные углы СКА и BKD равны. Отрезков поначалу мы опять не знаем, поэтому остается искать еще какую-то пару углов.
И тут впору вспомнить про теорему о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу. Такие углы всегда равны. Есть ли у нас такие углы? Несомненно! Это углы, например, АСК и KBD. Оба вписанных угла опираются на дугу AD, следовательно, они равны! Итак, у нас есть две пары равных углов, а, значит, треугольники подобны!
Ну а дальше из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон. Опять же помним, что соответственные стороны - это те, которые соединяют равные углы подобных треугольников. Получаем AK/KD = CK/KB.
Затем, перемножая крест-накрест и приравнивая, получаем искомое соотношение. Что и требовалось доказать!
🎓 ВЫВОД
- Все формулы — не изолированные правила, а следствия одного геометрического механизма: связи между углами и дугами → подобие треугольников → соотношение отрезков.
- Понимание начинается с вписанных углов и дуг, проходит через подобные треугольники и приводит к алгебраическим формулам, применимым в задачах ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадах.
И полная коллекция схем и формул - здесь:
На этом пока всё. Если интересна тема геометрических задач и теории - поставьте "лайк" и я обязательно продолжу.
- Скажите, все ли понятно и доступно?
- Что еще предлагаете включить в статью? Чего не хватает?
- Что вам кажется легче - алгебра или геометрия?
Делитесь, пожалуйста, в комментариях.
УСПЕХОВ ВАМ В УЧЕБЕ И ЭКЗАМЕНАХ! И до встречи!