Все чертили на уроках черчения чертежи. Разнообразные геометрические фигуры: прямоугольники, квадраты, треугольники, окружности. Что может быть проще: начертить квадрат. Берёшь линейку, карандаш, чертишь на листке линию. Берёшь уголок, чертишь прямую, которая будет перпендикулярна первой линии. Откладываешь по линейке одинаковые отрезки - стороны квадрата, и с помощью уголка заканчиваешь рисовать фигуру. И всё! Просто? Но это просто, если у Вас есть нужный инструмент.
А если у Вас только линейка? Или еще сложней, у Вас вместо листка бумаги, - земля; а вместо линейки, нет не верёвочка, мы же не дикие, - современная рулетка. И требуется, на участке земли вбить колышки под строительство фундамента домика.
И вспоминаешь, чему учили в школе. Диагонали квадрата или прямоугольника, равны! Измеряем на местности. Если диагонали не равны, то у нас ромб. Вносим коррективы и исправляем.
А теперь нужно разметить забор между участками. Воткнули две палки, - начало и конец забора. И взглядом, как через прицел, отследили остальные колышки. Сразу видно, ровно они стоят по линии или нет.
Но это линия. А на плане забор под прямым углом к улице. Линию сделали, а как сделать большой прямой угол? Может попробовать сделать так, как делали фундамент домика? Конечно, можно, но у забора расстояния большие чем у домика. И снова вспоминаем, что учились в школе. А! Теорема Пифагора!
Отмерив от угла 3 метра по забору улицы, отмеряем 4 метра от угла вдоль участка, и сразу ставим несколько колышков, очерчивая на земле радиус в 4 метра. А теперь от колышка с улицы, которым отмерили 3 метра, откладываем в сторону построенного радиуса 5 метров. Там, где пересекается радиус в 4 метра, и наша рулетка в 5 метров, там и будет проходить забор под прямым углом. А всё потому, что по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен квадрату катетов.
5² =3² + 4² (25 = 9 + 16).
А главное, есть возможность измерять расстояния подлиннее. При этом нам не надо искать другие квадраты. Просто пропорционально увеличиваем уже известные отрезки. К примеру, увеличим стороны в пять раз. И строим прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 метров, и с гипотенузой в 25 метров.
Как видите, с прямоугольными фигурами, что на земле, что на бумаге, оперировать не так сложно. Что не скажешь о фигурах с большим числом углов. Шестиугольники не рассматриваем, там всё просто строится на треугольниках.
Попробуйте построить пятиугольник. Построить пятиугольник на бумаге одной линейкой не реально. Попробуйте это сделать прямо сейчас, не дочитывая статьи. Получилось? Уверен, что нет.
А всё потому, что нет методик точного построения углов в 72-36-18 градусов линейкой. Поэтому смотрим в Интернете как правильно построить пятиугольник. Есть несколько способов, и все они связаны с построением радиусов, а значит, надо использовать циркуль.
Ниже самый популярный способ построения пятиугольника. Здесь задача несложная. Нужно путём построения окружностей разного радиуса найти отрезок, которым можно поделить первичную окружность на пять частей, и тем самым найти пять вершин вписанного пятиугольника.
Начнём. Чертим циркулем окружность с центром в точке 1. Строим на окружности горизонтальную и вертикальную линию. На горизонтальной линии из точки 2, тем же радиусом, R1 = R2, чертим полуокружность пересекая основную в точках 3, верхней и нижней. Точки 3, проведя через них линию, позволяют нам найти точку 4, лежащую на горизонтальной линии. Увеличиваем радиус циркуля до размера отрезка между точками 4 и 5. Из точки 4, циркулем с радиусом R4-5 находим точку 6 на горизонтальной линии.
Отрезок между точками 5 и 6 и есть нужный нам отрезок, который мы пытались найти нашими построениями. Берем циркуль, снова увеличиваем радиус, до размера отрезка 5-6, и циркулем с радиусом R5-6 проставляем все остальные точки на первичной окружности. Из точки 5 находим на радиусе нашей окружности две точки 7. Из правой точки 7 - точку 8; из точки 8, - точку 9. Теперь можно линейкой строить пятиугольник соединив точки 5-7-8-9-7. Аллилуйя.
Хорошее, и не сложное построение. Но всё равно не отпускала мысль найти способ, чтобы на листе бумаги А4, только линейкой и карандашом начертить пятиугольник. Линейка позволяет откладывать отрезки нужной длинны. Пришла идея, найти некий цифровой шаблон, с достаточно простым построением пятиугольника. Шаблон, в котором длины отрезков, которые будут в построении, будут целыми!
Посмотрим на пятиугольник. Что есть в пятиугольнике? Есть прямоугольный треугольник, гипотенуза которого - сторона пятиугольника. Есть радиус описанной окружности. Есть расстояния до центра этой окружности.
Размеры этих элементов, и попробуем, простым перебором, подобрать так, чтобы они были с минимальным отклонением от целых хначений. Не буду утомлять читателя расчётами. Оптимальный размер стороны пятиугольника получился равным 68.
А теперь построения. Рисуем две параллельные горизонтальные линии на расстоянии 65 мм друг от друга, и вертикальную прямую, на которой, на расстоянии 40 мм ставим точку.
Откладываем на верхней горизонтальной линии, в обе стороны от центра по 55 мм, а на нижней горизонтальной линии, в обе стороны по 34 мм. Все точки для построения пятиугольника отмечены. Соединяем точки. Пятиугольник готов.
Можем найти центр описанной окружности, просто отложив на вертикальной линии от верхней горизонтальной линии - 18 мм. Или от нижней линии - 47 мм.
Радиус описанной окружности такого пятиугольника составляет - 58 мм.
Можно вырезать пятиугольник, и уже по нему, используя его как шаблон, откладывать углы в 108-72-36 градусов. Или масштабировать пятиугольник до нужного размера.
Как видите, к решению одной задачи приводят разные решения. И даже решения в «лоб», могут дать хорошие результаты.