Есть довольно популярный вопрос, который часто возникает у любителей популярной науки и во многом следует из здравой логики. Звучит он так: А как вообще математика что-то доказывает? Как строится эта странная логика и почему можно говорить, что, например, математические выкладки Эйнштейна имеют и физический смысл? Ведь по сути человек просто записал цифры и обработал их по какому-то странному механизму.
Это очень хороший и невероятно интересный вопрос! Давайте попробуем найти простой ответ, хотя будет и сложно. На удивление, тут очень много можно осознать, если изучить логику теоремы Гёделя о неполноте.
Если спойлерить (простите уж за такое не очень научное словечко) дальнейший материал из статьи, то получится, что математика пыталась завязаться на ряде неопровержимых аксиом и тогда математическая физика не была оторвана от действительности, но потом пришёл Гёдель и сказал - хм, ну так в любой системе, как не крути, останутся белые пятна, которые могут стереть всю логику изысканий. Но давайте разбирать вопрос поэтапно.
Древнегреческие философы, включая Сократа, Платона и Аристотеля, задавались вопросом: «Как мы познаём истину?» Этот вопрос породил идею сформулировать несколько постулатов или аксиом, истинность которых была бы признана всеми, а затем, используя логику, вывести другие истины.
Это легло в основу евклидовой геометрии, которая была разработана для определения всех истин в планиметрии на основе пяти основных постулатов. Изучая геометрию в старших классах, вы узнавали множество теорем, которые были истинными, поскольку были выведены из этих основных аксиом.
Древние математики искали систему аксиом, из которых можно было бы вывести все математические истины, и эти поиски продолжались и после эпохи Возрождения.
Математика - это совокупность теорем, выводимых путём дедукции из набора основных априорных предположений, называемых аксиомами . Последовательность выводов, ведущих от аксиом к формулировке теоремы, называется доказательством этой теоремы. Таким образом, математику можно рассматривать как совокупность доказательств или связей между априорными «предположениями» и неизбежными выводами.
Когда математические исследования возродились в эпоху Возрождения, аксиоматическая структура математики, введенная Евклидом, продолжала оставаться основой достоверности и «истины» в геометрии. Однако интуитивная природа аксиом, вызывавшая проблемы в геометрии, также вызывала трудности и в других областях математики.
Алгебра и анализ, подобно геометрии, также опирались на интуитивные понятия, которые не были четко определены, а доказательства не были строгими в современном смысле. Развитие Ньютоном исчисления с использованием «флюксий» основывалось на интуитивных представлениях о движении и изменении, а не на точно определенных концепциях.
По мере того, как математика начала углубляться в область бесконечных величин, сходимости и пределов, формальная манипуляция символами часто приводила к противоречиям.
Математики все больше осознавали важность проверки всех аксиом на предмет скрытых предположений, которые впоследствии могли привести к противоречиям. Даже теория чисел, известная как «высшая арифметика», подверглась пристальному вниманию.
В 1889 году Джузеппе Пеано опубликовал набор из девяти аксиом, точно сформулированных на языке теории множеств. Эти аксиомы были призваны упрочить положение алгебры, заменив все интуитивные представления о целых числах однозначно сформулированными свойствами.
Но в 1899 году Давид Гильберт аналогичным образом пересмотрел аксиомы Евклида, заменив интуитивные понятия точно сформулированными свойствами, связывающими точки, плоскости и прямые.
Пересмотр аксиом Евклида был частью так называемой программы Гильберта. В 1920 году Гильберт предложил начать новый исследовательский проект, преследующий две цели:
- Подкрепить всю математику конечным набором аксиом.
- Разработать «метаязык», который можно было бы использовать для доказательства непротиворечивости этих аксиом.
Математики, следовавшие подходу Гильберта, придерживались идеи о том, что математику можно свести к правилам манипулирования формулами без какого-либо обращения к их смыслу. Представители этой так называемой формалистической школы считали, что математические символы и правила вывода, определяющие их взаимосвязи, составляют совокупность математического мышления.
В то время как Гильберт пытался добиться строгости, показывая, что вся математика может быть выведена из набора базовых аксиом и простых правил вывода, без использования понятий числа или множества, Готлоб Фреге и Бертран Рассел пытались использовать теоретико-множественный язык и формальную символическую логику для достижения абсолютной строгости. Последователи этой последней философии считались представителями школы логицистов.
Когда Гёдель опубликовал свои теоремы о неполноте в 1931 году, их значение осталось незамеченным широким математическим сообществом. Его теорема гласила:
В любой математической системе, достаточно сложной, чтобы содержать простую арифметику, существует неразрешимое утверждение, то есть утверждение, которое недоказуемо и отрицание которого недоказуемо.
Те, кто работал над основаниями математики, вскоре осознали далеко идущие последствия его мощной теоремы и следствия. Джон фон Нейман, опубликовавший «Аксиоматизацию теории множеств» в 1928 году, был одним из первых, кто осознал «истинность и важность работы Гёделя».
Стало очевидно, что цели формалистской школы Гильберта и логицистской школы Рассела недостижимы. Это поистине разрушило мечты Гильберта и Рассела, посвятивших значительную часть своей жизни стремлению к недостижимой цели.
В 1978 году в статье в газете The New York Times теорема Гёделя была названа «важнейшей математической истиной этого столетия, непостижимой для неспециалистов и революционной для философов и логиков». Сегодня многие исследователи искусственного интеллекта ссылаются на теорему Гёделя, чтобы предположить, что ИИ основан на внутренних логических схемах компьютера и, следовательно, может иметь врождённые ограничения.
П.с.: И нет, я не отрицаю теорию относительности и прочие сугубо математические теории. Во многом та же идея из теории относительности уже успела получить некоторые подтверждения. Но при этом не факт, что она (как и другие идеи) окажется полноценной. Мы подошли в итоге к ситуации, что любая сложная математика всегда будет иметь белые пятна.
Не забывайте ставить лайки 👍 и подписываться на канал ✔️, если материал понравился! Так вы увидите больше интересных статей, а моему каналу это поможет развиваться.