В этой статье разберём интересную задачу с параметром, в которой нужно выяснить, при каких значениях параметра переменная y принимает только положительные значения. Задача отлично подходит для подготовки к ЕГЭ или олимпиадам по математике, особенно в теме "Параметры и область определения". Она не очень сложная, поэтому подойдет тем, кто только недавно начал изучать тему параметров в уравнениях. Здесь мы посмотрим как на аналитическое решение, так и на работу с графиком.
🔍 Условие задачи:
✅ Шаг 1. Найдём область определения
Уравнение (которое является уравнением функции х(у) ) содержит квадратный корень. Чтобы выражение под корнем было определено, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
🔍 Промежуточный вывод:
Теперь мы знаем, какие значения "y" в принципе возможны при заданном "a". Осталось понять, когда все они положительные.
✅ Шаг 2. Когда все y>0 ?
Нам нужно, чтобы весь отрезок, на котором y может находиться, лежал в положительной части числовой прямой.
А значит, нижняя (левая) граница отрезка должна быть больше 0:
Итак, при всех значениях a∈[0;4) переменная y принимает только положительные значения.
📌 Ответ: a∈[0;4)
В целом здесь можно поставить точку. Но я предлагаю отметить кое-что еще. Это может оказаться полезным при решении и других задач с параметрами.
О левой части уравнения
Фактически нам не нужно в этом задании ничего делать с левой частью уравнения, так наше уравнение является уравнением функции х(у). И всё, что требуется - это только проверить правую часть на ОДЗ, что мы с вами и сделали.
Проверка решения с помощью графика
При условии нахождения ОДЗ, что уже было сделано выше, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат
Что же это? Очевидно, мы получили уравнение окружности! Координаты ее центра - это (а, 2), а радиус равен квадратному корню из "а".
Итак, центр окружности находится на 2 единицы выше, чем ось "икс". Если радиус равен √(а), то расстояние между осью "икс" и нижней точкой окружности будет равно (2 - √(а)). То есть выражение (2- √(а)) должно иметь положительное значение, и, следовательно, параметр а должен быть в пределах от нуля до четырех, как и было показано в задаче.
Здесь мы видим, что с увеличением параметра "а" центр окружности движется вправо. Нам в принципе всё равно, где находится центр в плане "икс-координаты". Нам важно, чтобы все точки окружности были над осью "икс", то есть координата самой нижней точки окружности была положительной. Это и достигается при положительном значении параметра, меньшего четырех.
Однако вы, возможно, задаетесь вопросом о том, что данные графики не являются графиками изначальной функции. И это действительно так! В заданном нам уравнении левая сторона, равная (х-а) должна быть неотрицательной. А в уравнении окружности это выражение возведено в квадрат и это требование снимается, благодаря чему мы и получаем полные окружности. В изначальном же уравнении наш график будет показывать точки, соответствующие неотрицательности выражения (х-а), а это будут только правые половинки окружностей. Но нижняя точка при этом сохранится и все выводы о то, каким должен быть параметр "а" останутся в силе. Вот как это будет выглядеть:
На этом всё. Надеюсь, вы нашли для себя что-то интересное и полезное.
Удачи вам в подготовке и в сдаче экзаменов.
Всего доброго и до новых встреч!