Давайте посмотрим на текст одной из задач этого типа:
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
В интернете есть много разнообразных объяснений, и замечательно-толковых, и не слишком понятных. Здесь, сразу скажу, текста будет много. Но зато он будет легкий и прочитается быстро. Плюс мы посмотрим на те варианты решения, которые никто даже и не предполагал. Поехали!
Сначала давайте подумаем о том, каковы три важнейших вопроса, которые стоит себе задавать при решении любых задач, особенно вызывающих затруднения?
Вот они:
1) Что полезного мы можем по-максимуму извлечь из текста задачи?
2) Какие "подводные камни" или трудности понимания текста требуют расшифровки?
3) Соответствует ли найденное решение тому, что ожидали составители?
Третий вопрос чисто экзаменационный. В реальной жизни мы имеем дело с реальными задачами, а в экзаменах - с придуманными. И люди могут в формулировках задачи допускать огрехи или неточности. Порой наше решение может быть "идеальным", но баллы мы за него не получим. Так что делаем "поправку на ветер". Кто стрелял, то понимает.
1) Из полезного - мы знаем, что автоматов - два. Мы знаем, что вероятность того, что кофе ни в одном автомате к концу дня не останется равна 0,12. А вероятность события "кофе закончится в автомате" равна 0,3. При этом можно понять, что в одном - это 0,3, а в другом может быть другой. Также можно подумать, что 0,3 - это для любого из двух автоматов. Формулировка в тексте скользкая и неоднозначная. Учтем.
2) Теперь про "подводные камни". Или "подкофейные" в данном случае.
Если предположить, что автоматы работают независимо, и что события «кофе закончился в первом автомате» и «кофе закончился во втором автомате» являются независимыми и одинаковыми, тогда вероятность того, что кофе закончится одновременно в обоих автоматах, равна произведению вероятностей этих событий:
P(оба) = P(в первом) × P(во втором) = 0,3 × 0,3 = 0,09.
Однако что в формулировке задачи не сказано ничего о зависимости или независимости автоматов. В реальности причины, по которым в автомате заканчивается кофе, могут быть как независимыми, так и связанными.
Кроме того, повторюсь, не говорится чётко о том, что вероятности того, что кофе закончится, одинаковы для каждого из автоматов.
Как бы то ни было, результат 0,09 противоречит условию задачи. Так как черным по белому написано, что вероятность одновременного окончания кофе в обоих автоматах не 0,09, а 0,12!
Что это значит? Тут могут быть три варианта рассуждения.
Вариант 1. События независимы. Тогда вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, должна быть равна 0,4. Это даст в итоге самый простой вариант решения. Почему 0,4? Просто делим вероятность того, что "кофе одновременно закончится", то есть 0,12 на вероятность того, что "кофе закончится в одном автомате", то есть 0,3, и получим 0,12 : 0,3 = 0,4. На этом основании уже будем считать вероятность того, что "кофе останется в обоих автоматах" (см. ниже).
Вариант 2. События не являются независимыми. Тогда при неизвестном значении вероятности события «кофе закончится во втором автомате» мы не сможем получить четкого ответа. Но сможем рассмотреть диапазон вариантов.
Вариант 3. События не являются независимыми, и при этом авторы задачи предполагали, что «одинаковость» автоматов должна сказать нам о том, что вероятность события «кофе закончится к концу дня» одинакова для каждого из автоматов и равна 0,3. То есть условие задачи не очень корректное. Но такое бывает.
Рассмотрим первый вариант.
Если события независимы, то нам нужно посчитать вероятность того, что кофе останется как в первом, так и во втором автомате. Мы это сделали выше, но давайте повторим. Обозначим Р(А) вероятность того, что кофе закончится в первом автомате, а Р(В) вероятность того, что кофе закончится во втором. Обозначим вероятность одновременного окончания кофе в обоих автоматах Р(А*В). Если вероятность того, что кофе закончится в первом P(A) = 0,3, то исходя из формулы вероятности независимых событий Р(А*В)=Р(А)Р(В) мы получим, что Р(В)=0,4
А, значит, вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах равна произведению обратных вероятностей (1-Р(А))(1-Р(В)) и равна 0,42
К слову сказать, некоторые могут предпочесть формулу для вычисления того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В), а затем вычислить вероятность обратного события, то есть того, что кофе останется в обоих автоматах.
Итак, ответ 0,42, но… Это неправильный ответ, согласно авторам задачи. :)
Рассмотрим второй вариант.
События не являются независимыми. Однако нам неизвестно значение вероятности события «кофе закончится во втором автомате».
В таком случае мы не можем однозначно вычислить вероятность совместного наступления событий P(A*B), а значит и объединения P(A+B), потому что:
P(A+B)= P(A)+P(B)−P(A*B) =0,3+P(B)−0,12. Здесь у нас две неизвестных величины в одном уравнении.
Вероятность, что кофе не закончится ни в одном автомате:
P(ост. в обоих авт.)=1−P(A+B)=1−(0,3+P(B)−0,12)=0,82−P(B)
Кстати, здесь мы видим, что, чем больше вероятность P(B), тем меньше шансов, что в обоих автоматах останется кофе. Это в целом логично.
Чтобы понять, в каких пределах может изменяться P(B), применим свойства вероятностей.
Нижняя граница для P(B):
По неравенству вероятностей:
P(A*B) ≤min (P(A),P(B)) -> 0,12≤ min(0,3,P(B)) ⇒ 0,12≤P(B)
Итак, Р(В)) ≥ 0,12
-----------------------
Верхняя граница для Р(В):
По формуле объединения:
P(A+B)≤1 ⇒ 0,3+P(B)−0,12 ≤ 1 ⇒ P(B)≤0,82
Итак, P(B)≤0,82
-----------------------
Итоговый интервал: P(B) ∈ [0,12; 0,82]
Применим уже выше выведенную формулу.
P(ост. в обоих авт.)=0,82−P(B) >> получим, что:
P(ост. в обоих авт.) ∈ [0; 0,7]
Вспомним третий важный вопрос. Соответствует ли это решение тому, что ожидали составители задачи? Как вы уже догадались, задача в ЕГЭ предполагает однозначный ответ, так что эти рассуждения, хотя и верны, они ожиданиям авторов задачи не соответствуют.
Тогда что получается? Работает вариант 3!
И тут мы вынуждены признать, что условие задачи не было составлено корректно. Необходимо было чётко написать не то, что «автоматы одинаковые», а то, что вероятность события «кофе к вечеру закончится» будет одинаковой как для первого автомата, так и для второго, и равна эта вероятность 0,3. Кто-то может возразить, что условие составлено "почти так". Но вот это "почти" все и портит, как говорится, "дьявол кроется в деталях".
Итак, третий вариант оказывается верным.
В каждом из автоматов вероятность того, что кофе закончится к концу дня, равна 0,3. При этом события не являются независимыми.
Тогда вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате будет рассчитываться по формуле: P(A+B)= P(A)+P(B)−P(A*B) = 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48.
А обратная вероятность того, что "кофе останется в обоих автоматов" будет равна Р(ост. в обоих авт.) = 1 - 0,48 = 0,52.
Это и есть правильный ответ по версии авторов задачи.
И тут вопрос. Что делать при решении задачи на экзамене ЕГЭ, если условия с вашей точки зрения составлено не совсем корректно? Самое простое - привести все варианты решения и указать на тот, который вы считаете наиболее правильным. Тогда, даже если вам "недодадут" баллы, будет повод для апелляции. Обычно мы это делаем для задач второй части. Не знаю, был ли когда-либо прецедент с другими заданиями, но, как минимум, можно попробовать.
И напоследок давайте посмотрим на...
Несколько вариантов визуального объяснения формулы сложения (объединения) вероятностей и ее применения в этой задаче.
Первый инструмент для решения - "Круги Эйлера".
Если вероятность события "кофе закончился в конце дня" для первого и второго автоматов равна 0,3, а вероятность того, что это произойдет одновременно равна 0,12, значит, области вероятностей как бы "перекрываются", что можно визуально представить так:
И тогда при сложении Р(А) и Р(В) мы дважды считаем область перекрытия, следовательно, ее нужно будет вычесть из полученной суммы. Потому-то формула и получается P(A+B)= P(A)+P(B)−P(A*B).
Другой инструмент - диаграмма с выписыванием всех возможных события. В таком случае мы видим, что "кофе закончится в первом автомате" окажется сложным событием, которое включает "закончится в первом, останется во втором", а также "закончится и в первом и во втором автоматах".
Вот, пожалуй, и все рассуждения по поводу этой задачи. Попробовал рассмотреть ее со всех возможных сторон. Если еще какую-то идею решения забыл, пожалуйста, поделитесь вашими стратегиями, буду рад услышать ваши мнения!
В завершении вопросы:
- Что больше понравилось в этом разборе? Насколько он был доступным и понятным?
- Чего, как вам кажется не хватило?
- Какие у вас любимые темы в математике? Относится ли к ним теория вероятностей?
Заранее спасибо за любые ваши ответы!
Увидимся в следующих статьях!