На канале Валерия Казакова Наглядная геометрия разобрано решение задачи под заголовком «Олимпиада для девушек».
1. Центр O окружности лежит на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC. Окружность проходит через вершину A, касается катета BC, пересекает гипотенузу AB в точке P, а катет AC в точке M. Найдите площадь треугольника ABC, если CM = 3, CK = 6.
Решение, показанное ведущим канала, в заключительном кадре выглядит так.
Источник. Олимпиада для девушек | Наглядная геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/67834f5d5583d367d7578a37
Здесь использованы теоремы о касательной и секущей, о свойстве биссектрисы, теорема Пифагора, а мы обойдёмся без двух последних теорем и сделаем более простое дополнительное построение.
Так как AO = OP, то по теореме Фалеса CK= KN = 6, CN = 12. Из подобия треугольников AMP и PNB по двум углам следует, что
NB : MP = PN : AM, NB : 12 = 3 : 9, NB = 4, CB = 12 + 4 = 16.
Площадь треугольника ABC равна половине произведения его катетов 16 и
9 + 3 = 12, она равна 96.
Ответ. 96.
Обратим внимание на одно важное различие в решении детей и взрослых. Взрослые знают много теорем и «королевских» формул, которых могут не знать школьники, поэтому, когда взрослый берётся решать задачу, он выбирает первый попавшийся ему инструмент, который подходит для решения. Он не всегда заботится о том, чтобы решение было как можно более простое, так как ему его способ решения кажется простым. Вот к такой ситуации и относится применение древней библейской фразы, вынесенной в заголовок заметки: «Многие знания — многие печали…».
Арсенал школьника чаще всего ограничен знанием небольшого числа фактов и формул, поэтому мы привлекаем для решения задач как можно более простые факты и стараемся, по возможности, делать более простые дополнительные построения.