Этот текст расписывает алгоритм расчета по опыту Майкельсона и Морли, который может быть удобен для анализа нейросетью (сделан по просьбе нейросети ДипСик).
# Таблицы измерений
Опыты Майкельсона и Морли 1887 года по измерению скорости эфирного ветра были описаны ими в двух статьях в ноябре и декабре 1887 года:
[1] A. Michelson and E. Morley. On the Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether. // American Journal of Science - Third series - Vol. XXXIV, No. 203. - Nov. 1887.
[2] A. Michelson and E. Morley. On the Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Æther. // Philosophical Magazine S. 5. Vol. 24. No. 151. Dec. 1887
В статьях приведены таблицы измерений, которые зафиксировали эти исследователи 8, 9, 11 и 12 июля 1887 года во время дневных (Noon observations) и вечерних (P.M. observations) наблюдений.
Дневные наблюдения проводились около 12:00 (near noon), а вечерние наблюдения проводились около 18:00 (near six o'clock in the evening).
В статье [1] таблица приведена на странице 340, а в статье [2] таблица приведена на странице 457, они отличаются лишь форматированием.
# Азимут поворота интерферометра
Заголовок таблицы измерений (верхний ряд цифр) обозначает угол (или азимут) поворота интерферометра, но не в градусах, а в 1/16 долях полной окружности (оборота интерферометра). При этом, судя по опубликованному в статье изображению интерферометра, азимут 0 совпадает с азимутом 16, а отметки азимута были равномерно нанесены по окружности интерферометра против часовой стрелки. Если смотреть на интерферометр сбоку, то цифры азимута имеют вид 16; 1; 2; 3; 4... и так далее до 15. В таблице, однако, приведено 17 значений от 16 до 16, поскольку интерферометр совершает полный оборот, а исследователи фиксировали и начальное, и конечное значение именно для этого азимута.
16; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16
Обозначим эти колонки азимута как А0; A1; ... А16:
А0; А1; А2; А3; А4; А5; А6; А7; А8; А9; А10; А11; А12; А13; А14; А15; А16
Значения самих измерений, которые зафиксировали исследователи, приходятся на даты дневных наблюдений 8, 9 и 11 июля и даты вечерних наблюдений 8, 9 и 12 июля 1887 года (всего 6 рядов цифр). Я приведу их отдельно от дальнейших усреднений и вычислений как Этап 1.
# Этап 1 — исходные данные дневных и вечерних наблюдений
Единицы измерений для этих значений — «деления головки винта» (divisons of the screw-heads).
В приведенном ниже тексте запятая соответствует десятичному разделителю, а знак точки с запятой - разделитель ячеек таблицы. Здесь С1..С6 - мои обозначения этих шести строк таблицы.
Дневные наблюдения:
С1: 8 июля дневные: 44,7; 44,0; 43,5; 39,7; 35,2; 34,7; 34,3; 32,5; 28,2; 26,2; 23,8; 23,2; 20,3; 18,7; 17,5; 16,8; 13,7
С2: 9 июля дневные: 57,4; 57,3; 58,2; 59,2; 58,7; 60,2; 60,8; 62,0; 61,5; 63,3; 65,8; 67,3; 69,7; 70,7; 73,0; 70,2; 72,2
С3: 11 июля дневные: 27,3; 23,5; 22,0; 19,3; 19,2; 19,3; 18,7; 18,8; 16,2; 14,3; 13,3; 12,8; 13,3; 12,3; 10,2; 7,3; 6,5
Вечерние наблюдения:
С4: 8 июля вечерние: 61,2; 63,3; 63,3; 68,2; 67,7; 69,3; 70,3; 69,8; 69,0; 71,3; 71,3; 70,5; 71,2; 71,2; 70,5; 72,5; 75,7
С5: 9 июля вечерние: 26,0; 26,0; 28,2; 29,2; 31,5; 32,0; 31,3; 31,7; 33,0; 35,8; 36,5; 37,3; 38,8; 41,0; 42,7; 43,7; 44,0
С6: 12 июля вечерние: 66,8; 66,5; 66,0; 64,3; 62,2; 61,0; 61,3; 59,7; 58,2; 55,7; 53,7; 54,7; 55,0; 58,2; 58,5; 57,0; 56,0
# Этап 2 — усреднение трехдневных периодов:
Далее в таблице исходной статьи [1] [2] следуют строки с заголовками "Mean" (Среднее), которые принимают следующие значения:
Дневные наблюдения:
С7: дневные: 43,1; 41,6; 41,2; 39,4; 37,7; 38,1; 37,9; 37,8; 35,3; 34,6; 34,3; 34,4; 34,4; 33,9; 33,6; 31,4; 30,8
Вечерние наблюдения:
С8: вечерние: 51,3; 51,9; 52,5; 53,9; 53,8; 54,1; 54,3; 53,7; 53,4; 54,3; 53,8; 54,2; 55,0; 56,8; 57,2; 57,7; 58,6
Здесь С7 и С8 — мои обозначения строк таблицы для удобства дальнейших ссылок.
Проверю вычисление среднего арифметического:
- Для колонки А0 я складываю значения для строк С1, С2 и С3, а именно 44,7 + 57,4 + 27,3 и делю сумму на 3, получается значение 43,13333333.
- Для колонки А1 я складываю значения для строк С1, С2 и С3, а именно 44,0 + 57,3 + 23,5 и делю сумму на 3, получается значение 41,6
- ... и так далее.
Полученные значения я помещаю в строку С7.1, а аналогичное вычисление для строк С4, С5 и С6 помещаю в строку С8.1:
С7.1: дневные: 43,13333333; 41,6; 41,23333333; 39,4; 37,7; 38,06666667; 37,93333333; 37,76666667; 35,3; 34,6; 34,3; 34,43333333; 34,43333333; 33,9; 33,56666667; 31,43333333; 30,8
С8.1: вечерние: 51,33333333; 51,93333333; 52,5; 53,9; 53,8; 54,1; 54,3; 53,73333333; 53,4; 54,26666667; 53,83333333; 54,16666667; 55; 56,8; 57,23333333; 57,73333333; 58,56666667
Вычисления примерно совпали (если не считать относительно низкой точности вычислений в статье 1887 года) что позволяет считать этот этап успешно пройденным.
# Этап 3 — переход к длинам волн:
Далее в таблицах Майкельсона приведены строки с заголовками "Mean in w.l.", что следует понимать как "Mean in wavelength", «Среднее в длинах волн».
Майкельсон указывает, что одно деление соответствует 0,02 длины волны (one division means 0.02 wave-length), что требует поделить полученные на этапе 2 значения на 50.
Вот какие значения были приведены самим Майкельсоном в [1] и [2], обозначим эти строки как С9 и С10:
Дневные наблюдения:
С9: 0,862; 0,832; 0,824; 0,788; 0,754; 0,762; 0,758; 0,756; 0,706; 0,692; 0,686; 0,688; 0,688; 0,678; 0,672; 0,628; 0,616
Вечерние наблюдения:
С10: 1,026; 1,038; 1,050; 1,078; 1,076; 1,082; 1,086; 1,074; 1,068; 1,086; 1,076; 1,084; 1,100; 1,136; 1,144; 1,154; 1,172
А теперь я попробую выполнить деление С7.1 и С8.1 на значение 50 самостоятельно:
С9.1; Длины волн дневные; 0,862666667; 0,832; 0,824666667; 0,788; 0,754; 0,761333333; 0,758666667; 0,755333333; 0,706; 0,692; 0,686; 0,688666667; 0,688666667; 0,678; 0,671333333; 0,628666667; 0,616
С10.1; Длины волн вечерние; 1,026666667; 1,038666667; 1,05; 1,078; 1,076; 1,082; 1,086; 1,074666667; 1,068; 1,085333333; 1,076666667; 1,083333333; 1,1; 1,136; 1,144666667; 1,154666667; 1,171333333
Значения не вполне совпадают и различаются в 3-4 знаке. Очевидно, это ошибки деления и округления, так как Майкельсон пользовался менее точными приборами для вычисления, чем Excel.
# Этап 4 - вычисление финального среднего:
Далее в статье Майкельсона вычисляется финальное среднее (Final mean). Майкельсон переходит к таблице из 9 колонок, складывая и усредняя левую и правую ее части.
Смысл этого преобразования может быть связан с тем, что показания интерферометра при противоположных азимутах должны совпадать, а сам эффект от эфирного ветра по теории интерферометра должен быть полу-периодическим (два цикла смещения полос за оборот прибора).
Иначе измеряется не эфирный ветер, а несоосность прибора или другие артефакты, которые приводят к полно-периодическому эффекту (один цикл смещения за оборот прибора).
Для этого:
Дневные наблюдения:
В строке С9:
- Значение для азимута А0 (0,862) усредняется со значением для азимута А8 (0,706) и получается среднее арифметическое (0,784).
- Значение для азимута А1 (0,832) усредняется со значением для азимута А9 (0,692) и получается среднее арифметическое (0,762).
- Значение для азимута А2 (0,824) усредняется со значением для азимута А10 (0,686) и получается среднее арифметическое (0,755).
- Значение для азимута А3 (0,788) усредняется со значением для азимута А11 (0,688) и получается среднее арифметическое (0,738).
- Значение для азимута А4 (0,754) усредняется со значением для азимута А12 (0,688) и получается среднее арифметическое (0,721).
- Значение для азимута А5 (0,762) усредняется со значением для азимута А13 (0,678) и получается среднее арифметическое (0,720).
- Значение для азимута А6 (0,758) усредняется со значением для азимута А14 (0,672) и получается среднее арифметическое (0,715).
- Значение для азимута А7 (0,756) усредняется со значением для азимута А15 (0,628) и получается среднее арифметическое (0,692).
- Значение для азимута А8 (0,706) усредняется со значением для азимута А16 (0,616) и получается среднее арифметическое (0,661).
Обозначим результат этого расчета как строку С11:
С11: 0,784; 0,762; 0,755; 0,738; 0,721; 0,720; 0,715; 0,692; 0,661
Вечерние наблюдения:
Аналогичный расчет выполним для строки С10, а получившиеся значения финальных средних поместим в строку С12.
С12: 1,047; 1,062; 1,063; 1,081; 1,088; 1,109; 1,115; 1,114; 1,120
Самостоятельные вычисления этого же типа проведем в Excel над строками С9.1 и С10.1 и обозначим их как С11.1 и С12.1:
С11.1; Финальное среднее день; 0,784333333; 0,762; 0,755333333; 0,738333333; 0,721333333; 0,719666667; 0,715; 0,692; 0,661
С12.2; Финальное среднее вечер; 1,047333333; 1,062; 1,063333333; 1,080666667; 1,088; 1,109; 1,115333333; 1,114666667; 1,119666667
Вычислительная погрешность из-за несовершенных вычислений 1887 года находится в 4 знаке.
К сожалению, дальнейшие этапы табличного расчета в исходной статье Майкельсона и Морли 1887 года отсутствуют, поэтому восполним эти этапы согласно методике Миллера 1933:
[Миллер 1933] Miller D.C. The Ether-Drift Experiment and the Determination of the Absolute Motion of the Earth // Reviews of modern physics, Vol.5, July 1933, pp.212-213
# Этап 5 — линейный тренд температуры
Интерферометр Майкельсона не термоизолировался, но отмечал суточный ход температуры (синусоида с одним периодом за сутки). За время одного оборота интерферометра (несколько десятков секунд) это выглядело как линейный дрейф показаний. Миллер в статье 1933 года [Миллер 1933] указывал на необходимость вычитания этого линейного дрейфа (см. раздел Reduction of the interferometer observations на страницах 212-213). Этот этап выглядит строго необходимым, иначе мы вместо эфирного ветра измеряем сам этот линейный дрейф, кроме особо благоприятных периодов наблюдения, когда температура в течение суток остается постоянной.
Для этого мы возьмем значения в первой и последней колонках А0 и А8, вычислим между ними разницу и поделим ее на 8 частей, обозначив пошаговое приращение как Дельта.
(Миллер вычислял линейный тренд из 16 значений до складывания половинок таблиц на этапе 4, но это не принципиально, потому что и там, и там будет аналогичный линейный линейный дрейф температуры).
Дневные наблюдения:
Вычислим размах значений между колонками А0 и А8 в строке С11, который составляет 0,661 - 0,784 = -0,123.
В строке С11 значения 0,661 - 0,784 = -0,123 и шаг приращения Дельта = -0,123/8 = -0,015375.
- В качестве исходной точки линейного тренда возьмем значение 0,784 для азимута А0.
- Затем мы прибавим к нему значение Дельта, получив значение 0,768625 для азимута А1.
- Затем мы еще раз прибавим к нему значение Дельта, получив значение 0,75325 для азимута А2.
- Затем мы еще раз прибавим к нему значение Дельта, получив значение 0,737875 для азимута А3.
- Затем мы еще раз прибавим к нему значение Дельта, получив значение 0,7225 для азимута А4.
- Затем мы еще раз прибавим к нему значение Дельта, получив значение 00,707125 для азимута А5.
- Затем мы еще раз прибавим к нему значение Дельта, получив значение 0,69175 для азимута А6.
- Затем мы еще раз прибавим к нему значение Дельта, получив значение 0,676375 для азимута А7.
- Затем мы еще раз прибавим к нему значение Дельта, получив значение 0,661 для азимута А8.
Значение линейного тренда для азимута А8 0,661 совпало со значением для этого же азимута 0,661 в строке С11, что показывает правильное вычисление линейного тренда между крайними точками.
Линейный тренд при этом, таким образом, составит следующие значения, обозначим их как строку С13:
С13: 0,784; 0,768625; 0,75325; 0,737875; 0,7225; 0,707125; 0,69175; 0,676375; 0,661
Вечерние наблюдения:
Аналогичное вычисление линейного тренда по строке С12 дает размах между колонками А0 и А8 1,047 - 1,120 = 0,073 и шаг приращения Дельта 0,073/8 = 0,009125.
Линейный тренд при этом составит следующие значения, обозначим их как строку С14:
С14: 1,047; 1,056125; 1,06525; 1,074375; 1,0835; 1,092625; 1,10175; 1,110875; 1,12
Значение линейного тренда для азимута А8 (1,12) совпало со значением для этого же азимута (1,12) в строке С12, что показывает правильное вычисление линейного тренда между крайними точками.
Линейный тренд самостоятельных вычислений из С11.1 и С12.1 составит значения:
С13.1; Тренд дневные; 0,784333333; 0,768916667; 0,7535; 0,738083333; 0,722666667; 0,70725; 0,691833333; 0,676416667; 0,661
С14.1; Тренд вечерние; 1,047333333; 1,056375; 1,065416667; 1,074458333; 1,0835; 1,092541667; 1,101583333; 1,110625; 1,119666667
#Этап 6 - вычитание линейного тренда температуры
Чтобы получить значения эфирного ветра, очищенные от влияния суточного хода температуры, вычтем из строки С11 значения линейного тренда С13, а из строки С12 - значения линейного тренда С14.
Для этого
- из значения в строке С11 и колонке А0 вычтем значение из строки тренда С13 и этой же колонки А0.
- из значения в строке С11 и колонке А1 вычтем значение из строки тренда С13 и этой же колонки А1.
- из значения в строке С11 и колонке А2 вычтем значение из строки тренда С13 и этой же колонки А2.
и т.д.
Поместим полученные значения в строку С15
С15;; 0; -0,006625; 0,00175; 0,000125; -0,0015; 0,012875; 0,02325; 0,015625; 0
- из значения в строке С12 и колонке А0 вычтем значение из строки тренда С14 и этой же колонки А0.
- из значения в строке С12 и колонке А1 вычтем значение из строки тренда С14 и этой же колонки А1.
- из значения в строке С12 и колонке А2 вычтем значение из строки тренда С14 и этой же колонки А2.
и т.д.
Поместим полученные значения в строку С16
С16;; 0; 0,005875; -0,00225; 0,006625; 0,0045; 0,016375; 0,01325; 0,003125; 0
Для более точных вычислений относительно строк С11.1-С13.1 и С12.1-С14.1 строки выглядят так:
С15.1; Разница с трендом дневные; 0; -0,006916667; 0,001833333; 0,00025; -0,001333333; 0,012416667; 0,023166667; 0,015583333; 0
С16.1; Разница с трендом вечерние; 0; 0,005625; -0,002083333; 0,006208333; 0,0045; 0,016458333; 0,01375; 0,004041667; 0
#7 Этап 7 - вычисление смещения
Для вычисления скорости эфирного ветра нам нужено смещение значений относительно нижней точки, чтобы избавиться от отрицательных значений.
Для этого вычислим минимум для строки С15: -0,006625
Затем прибавим его ко всем значениям строки С15, а результат поместим в строку С17:
С17; Смещение (день); 0,006625; 0; 0,008375; 0,00675; 0,005125; 0,0195; 0,029875; 0,02225; 0,006625
Для строки С16 минимальное знаение составляет -0,00225
Прибавив его ко всем значениям строки С16, получим строку С18:
С18; Смещение (вечер); 0,00225; 0,008125; 0; 0,008875; 0,00675; 0,018625; 0,0155; 0,005375; 0,00225
Для более точных вычислений относительно строк С15.1 и С16.1 строки смещения выглядят так:
С17.1; Смещение (день); 0,006916667; 0; 0,00875; 0,007166667; 0,005583333; 0,019333333; 0,030083333; 0,0225; 0,006916667
С18.1; Смещение (вечер); 0,002083333; 0,007708333; 0; 0,008291667; 0,006583333; 0,018541667; 0,015833333; 0,006125; 0,002083333
# Этап 8 - перевод смещений в метры
Для вычисления понадобится значение смещений не в длинах волн, как это указано в строках С9 и далее, а в метрах.
Длина волны желтого света составляет 0,589 мкм, приставка микро для мкм составляет 10^-6, поэтому переведем в метры, умножив эти значения на 0,589 мкм и поделив на 10^-6.
Возьмем сразу значения С17.1 и С18.1, полученный ряд составляет числа:
С19; Смещение (день), м; 4,07392E-09; 0; 5,15375E-09; 4,22117E-09; 3,28858E-09; 1,13873E-08; 1,77191E-08; 1,32525E-08; 4,07392E-09
С20; Смещение (вечер), м; 1,22708E-09; 4,54021E-09; 0; 4,88379E-09; 3,87758E-09; 1,0921E-08; 9,32583E-09; 3,60762E-09; 1,22708E-09
# Этап 9 - вычисление скорости эфира
На странице 341 в статье [1] Майкельсон и Морли указывают формулу соотношения между смещением и скоростью эфира:
Displacement should be 2D(v^2/V^2),
где D - длина светового пути интерферометра (11 метров),
V - скорость света 299 792 458; м/с,
v - искомая скорость эфира.
Алгебраическое соотношение имеет вид:
Смещение = 2D * v^2 / V^2
Из чего следует, что:
v^2 = Смещение * V^2 / 2D
Следовательно,
v = Корень (Смещение * V^2 / 2D).
Множитель V^2 / 2D численно равен 4085250812440080.
Поэтому перемножим значения С19 и С20 на этот множитель, чтобы получить квадрат скорости эфира, а затем возьмем из произведения квадратный корень, чтобы получить саму скорость в м/с.
Результат поместим в строки С21 и С22:
С21; Скорость эфира (день), м/с; 4079,579803; 0; 4588,503174; 4152,652713; 3665,335965; 6820,565428; 8508,049106; 7357,97434; 4079,579803
С22; Скорость эфира (вечер), м/с; 2238,960291; 4306,72611; 0; 4466,711752; 3980,062872; 6679,460633; 6172,387561; 3839,017187; 2238,960291
Поделим значения скорости на 1000, чтобы получить км/с и округлим эти значения до 1 знака после запятой:
С23; Скорость эфира (день), км/с; 4,1; 0,0; 4,6; 4,2; 3,7; 6,8; 8,5; 7,4; 4,1
С24; Скорость эфира (вечер), км/с; 2,2; 4,3; 0,0; 4,5; 4,0; 6,7; 6,2; 3,8; 2,2
Из этих значений надо выбрать максимальное, потому что 0 соответствует такому азимуту, где интерферометр встает в невыгодное положение, от которого мы и отсчитываем результат.
Для вечерних и утренних наблюдений надо также выбрать максимальное, потому что Земля в процессе своего суточного вращения может поворачивать интерферометр под невыгодным углом.
Таким образом, скорость эфирного ветра составляет в этом расчете 8,5 км/с.
#Этап 10 - проверка без промежуточных усреднений
Но что будет, если мы возьмем исходные значения С1-С6, не усредняя их, а также пропустим этап 4 с финальным средним? В этом случае максимальное значение скорости составляет 19,2 км/с.
Но в этом случае помеху создает полнопериодический эффект за счет несоосности прибора. Если же вернуть финальное среднее (сложение половинок таблицы), но не усреднять значения С1-С6, то значения скорости эфира составят следующие значения:
С1; 8 июля скорость эфира (км/с) дневные; 6,8; 8,6; 9,9; 9,2; 0,0; 6,5; 9,9; 11,4; 6,8;;;;;;;;;; максимум 11,4 км/с
С2; 9 июля скорость эфира (км/с) дневные; 1,9; 0,0; 6,1; 7,3; 7,4; 8,4; 9,7; 3,5; 1,9;;;;;;;;;; максимум 9,7 км/с
С3; 11 июля скорость эфира (км/с) дневные; 9,3; 3,5; 3,8; 0,0; 8,5; 10,6; 10,5; 10,3; 9,3;;;;;;;;;; максимум 10,6 км/с
С4; 8 июля скорость эфира (км/с) вечерние; 3,8; 8,7; 5,7; 9,4; 7,0; 6,6; 2,7; 0,0; 3,8;;;;;;;;;; максимум 9,4 км/с
С5; 9 июля скорость эфира (км/с) вечерние; 0,0; 3,6; 5,4; 4,2; 7,4; 8,1; 6,0; 4,0; 0,0;;;;;;;;;; максимум 8,1 км/с
С6; 12 июля скорость эфира (км/с) вечерние; 7,9; 5,3; 0,0; 4,0; 2,2; 9,2; 11,5; 9,5; 7,9;;;;;;;;;; максимум 11,5 км/с
При этом складывать две половинки таблицы можно как до, так и после вычитания линейного тренда, результаты при этом, как ни странно, почти в точности совпадают.
Вывод
Значение скорости эфирного ветра, зафиксированное Миллером во время его многолетних наблюдений, имеет порядок 10 км/с, но ровно эти же значения получаются и в исходной статье Майкельсона и Морли 1887 при правильном подсчете скорости эфирного ветра. Профессора Майкельсон, Морли и Миллер работали в одном и том же университете (Кейс Вестерн резерв), были коллегами и друзьями. Интерферометр Майкельсона сначала унаследовали Морли и Миллер, после чего опыты Миллера с 1920-х годов показали убедительные ненулевые результаты с точными космическими направлениями эфира (выявленная скорость эфира порядка 10 км/с очень даже не нулевая, а близкая к Первой космической скорости 7,9 км/с). В 1929 году опыты перепроверял сам Майкельсон, но и он зафиксировал эти же космические направления эфирного ветра со скоростью около 6 км/с. В России опыты этого типа официально не проводились со времен воцарения Александра III (1881 — также первые опыты Майкельсона с эфиром) и до наших дней. Вместо этого предлагается верить на слово той интерпретации опытов Майкельсона, где получился нулевой результат. Как он вообще может получиться математически нулевым, если не верить на слово, а пересчитать таблицы самих же авторов — тайна сия велика есть.