М.А.Пирожков.
ВОПРОС: Можно ли построить отрезок иррациональной длины ?
ОТВЕТ: … Только не смешите меня раствором циркуля.
I. Теорема о сумме квадратов катетов прямоугольного треугольника 𝑎² + 𝑏² = 𝑐² (почему то именуемая теоремой Пифагора, хотя была известна за 1000 лет до Пифагора) была открыта и возможно доказана на основе применения так называемых троек натуральных чисел (a, b, c), опять же “пифагоровых троек”, из которых самая известная (3, 4, 5), а одна из самых сложных (12709, 13500, 18541). И это было открытием XVIII века до н.э.: вавилонская глиняная табличка Plimton 322 содержит 15 пифагоровых троек. Если тройка натуральных чисел (𝑎₀, 𝑏₀, 𝑐₀) удовлетворяет уравнению 𝑎² + 𝑏² = 𝑐², то по теореме, обратной к теореме Пифагора, из отрезков длины 𝑎₀, 𝑏₀ и 𝑐₀ можно сложить истинный прямоугольный треугольник. Причем это верно также и для троек рациональных чисел, например, (3⁄2, 20⁄3, 41⁄6). Что самое важное, в этом случае выполняется свойство соизмеримости катета и диагонали такого треугольника, причем предполагают, что теорема Пифагора и была сначала доказана именно для соизмеримых отрезков. Таким образом, прямоугольные треугольники имеют место быть только для пифагоровых рациональных троек.
II. Но когда-то возникла кощунственная с математической точки зрения мысль: взять катеты одинаковой длины, вопреки виду пифагоровых рациональных троек, получив при этом “равнобедренный прямоугольный треугольник”.
Деформировав тем самым прямоугольный треугольник, взяв его катеты единичными, и формально использовав теорему Пифагора для вычисления гипотенузы, впервые в математике был создан хаос, воплотившийся в длину, измеряемую БЕСКОНЕЧНОЙ непериодической десятичной дробью, т.е. иррациональным числом
√2 = 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317…
Возникает вопрос, как может существовать конструкция из трех отрезков, если длина одного из них находится в БЕСКОНЕЧНО
ИЗМЕНЯЮЩЕМСЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННОМ ПРОЦЕССЕ постоянного приближения к значению, обозначенному “√𝟐“, и НИКОГДА ЕГО НЕ ДОСТИГАЮЩЕГО. Может ли быть в треугольнике отрезок, длина которого переменная величина (наращивание знаков √2 невозможно остановить). Оставим актуальные бесконечности на совести философов. Здесь речь идет о математике, работающей с реальными, вычислимыми разрядами чисел, а не с фантазиями существования √2 (во всей его бесконечной недоступности) в головах некоторых математиков.
Что с таким треугольником или квадратом, составленном из двух равнобедренных треугольников, не все понятно, пытался объяснить еще Демокрит: “ …квадрат с равными сторонами существует лишь в мнении людей, в действительности же всякий квадрат является прямоугольником, у которого основание отличается от высоты на такую малую величину, которая не воспринимается нашим зрением и осязанием. Действительно, не существует таких пифагоровых троек, в которых одно катетное число равно другому, и поэтому в обычном равно-равном квадрате диагональ не может быть соизмерима со стороной “ [1].
Выходит, что треугольник со сторонами 1, 1, √2 это всего лишь абстрактная (несуществующая) модель псевдопрямоугольного треугольника. Поэтому и приходиться вводить приближения этого треугольника (квазипрямоугольные треугольники) со сторонами (1, 1, 17⁄12 ); (1, 1, 41⁄29 ); (1, 1, 99⁄70 ); (1, 1, 239⁄169 ) и т.д., которые и используются в геометрических построениях. Здесь дробями являются цепные дроби наилучшим способом приближающие √2. Понятно, что эти тройки дают приближения прямоугольных треугольников, поскольку квадрат гипотенузы не равен в точности двум и поэтому сам треугольник будет искажен, но качество приближения возрастает с увеличением значения цепной дроби, например для такой дроби 𝑚⁄𝑛, где m=1680198021345290200676769147384404781106336, n=1188079414629474224696555193360797823674730 точность приближения √2 цепной дробью 𝑚⁄𝑛 составляет 10ˉ¹⁰⁰.
III. Что треугольник со сторонами (1,1,√2) не существует, никого и не удивило. Мало того, начали доказывать на этом несуществующем треугольнике несоизмеримость катета и диагонали. Имеются, по крайней мере, два доказательства (геометрическое и алгебраическое) этого феномена. Первое не выходит из круга идей Х книги Евклида и является, по-видимому, более ранним и основано на способе повторного откладывания (см. Рис.)
Используя бесконечную структуру повторных откладываний, все-таки доказали несоизмеримость стороны и диагонали несуществующего квадрата.
В результате классический анализ встал перед выбором, что истинно: квазипрямоугольный треугольник 1, 1, 𝑚⁄𝑛 или псевдопрямоугольный треугольник 1, 1, √2. К сожалению, классический анализ выбрал второй путь. В результате появились “бесконечные” десятичные дроби, пределы, принцип стягивающихся отрезков и прочие потусторонние сущности. И все это для того, чтобы удовлетворить полноте (непрерывности) системы вещественных чисел, забывая о том, что КОНТИНУУМ НЕИСЧЕРПАЕМ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Маковельский А.О., Древнегреческие атомисты, Баку, 1946.
Михаил Пирожков.
Всего Вам доброго.