I. Введение: Замысловатая Симметрия Снежинок
Снежинки, или снежные кристаллы, представляют собой отдельные кристаллы льда, которые растут из водяного пара и известны своими замысловатыми и симметричными узорами.1 Это явление является конкретным примером более общей проблемы роста кристаллов и формирования сложных структур в различных масштабах.1 Характерная шестиугольная симметрия снежинок является прямым следствием гексагональной кристаллической структуры льда, лежащей в их основе. Однако замысловатая сложность и уникальные особенности каждой снежинки возникают из хаотических и динамических условий, которые они испытывают во время своего падения через атмосферу.
Популярное выражение «нет двух одинаковых снежинок» в значительной степени справедливо для сложных, хорошо сформированных дендритов из-за огромного количества возможных историй роста. Тем не менее, более простые формы, особенно те, что выращены в контролируемых лабораторных условиях, действительно могут быть идентичными, что оспаривает абсолютную универсальность этого утверждения. Это указывает на то, что уникальность снежинок является статистическим результатом хаотических атмосферных траекторий, а не неотъемлемой физической невозможностью. Это различие имеет жизненно важное значение, поскольку оно подразумевает, что потенциал для идеальной симметрии существует, если условия однородны, что затем становится основой для объяснения наблюдаемой симметрии внутри лучей снежинки.
В этом контексте возникает фундаментальный парадокс: как точная, глобальная симметрия возникает и сохраняется в высокостохастической среде? Это является одной из центральных научных проблем. Существующее понимание указывает на то, что ключевым фактором является локальная однородность условий по всем лучам, а не активная обратная связь между лучами. Данный отчет посвящен конкретному вопросу: существует ли механизм на масштабе снежинки, основанный на электростатических эффектах, который активно поддерживает симметричный рост снежинки? Далее исследуется, можно ли это назвать кооперативным эффектом, при котором форма на одном из симметричных лучей снежинки влияет на другие лучи, заставляя их поддерживать ту же структуру. Мы углубимся в фундаментальную физику роста льда, роль электростатических взаимодействий и критически оценим концепцию активного кооперативного роста между лучами.
II. Основы Роста Снежинок и Гексагональной Симметрии
A. Молекулярная Основа Льда: Полярность Воды и Водородные Связи
Фундаментальным строительным блоком льда является молекула воды (H₂O), которая имеет изогнутую, V-образную геометрию с углом связи приблизительно 105°.2 Из-за более высокой электроотрицательности кислорода по сравнению с водородом, распределение электронов в ковалентных связях неравномерно. Это приводит к частичному отрицательному заряду на атоме кислорода и частичным положительным зарядам на атомах водорода, что делает молекулу воды inherently полярной.3
Эта полярность имеет решающее значение для образования водородных связей, которые представляют собой слабые электростатические притяжения между частично положительным водородом одной молекулы воды и частично отрицательным кислородом другой.6 В твердом состоянии (лед) каждая молекула воды обычно образует четыре водородные связи с четырьмя соседними молекулами, располагая их в жесткую, открытую кристаллическую структуру.
Наиболее распространенная форма льда на Земле, лед Ih, демонстрирует гексагональную кристаллическую решетку. Эта структура характеризуется атомами кислорода, образующими гексагональную симметрию с почти тетраэдрическими углами связи.6 Эти гексагональные кольца расположены слоями, которые чередуются по схеме ABAB, при этом водородные связи образуют края этих колец.6 Это лежащее в основе микроскопическое гексагональное расположение молекул воды является прямым источником макроскопической шестикратной симметрии, наблюдаемой в снежинках.
Важно отметить, что эта гексагональная симметрия является фундаментальным, предопределенным структурным свойством, коренящимся в молекулярной и электростатической природе воды. Это не динамический кооперативный эффект в смысле межлучевой коммуникации. Макроскопическая шестикратная симметрия является эмерджентным свойством, непосредственно вытекающим из квантово-механических и электростатических свойств молекул воды и их предпочтительных конфигураций связывания. Таким образом, это начальное условие для симметрии, на основе которого затем развиваются динамические процессы роста. Хотя существуют и другие фазы льда (например, лед II, III, кубический, тригональный, квадратный) при экстремальных давлениях, температурах или в ограниченных условиях, они, как правило, не имеют отношения к образованию атмосферных снежинок.10
Таблица 1: Молекулярные Взаимодействия и Результирующая Симметрия Кристаллов Льда
Характеристика
Описание
Влияние на Симметрию
Молекула Воды (H₂O)
V-образная форма, угол H-O-H ~105°, полярность (частичные заряды на O и H).2
Создает условия для направленных связей.
Водородная Связь
Электростатическое притяжение между соседними молекулами воды; относительно слабые по сравнению с ковалентными связями, но сильные в совокупности.6
Обеспечивает сцепление и формирование кристаллической решетки.
Структура Льда Ih
Каждая молекула воды образует 4 водородные связи; тетраэдрическая координация; открытая гексагональная решетка.6 Слои располагаются по схеме ABAB.6
Прямое преобразование микроскопической гексагональной решетки в макроскопическую шестикратную симметрию снежинки.13
Другие Фазы Льда
Кубический, тригональный, квадратный лед; образуются при экстремальных давлениях/температурах или в ограниченных условиях.10
Не имеют отношения к типичному формированию атмосферных снежинок.
B. Макроскопическая Динамика Роста: Диффузия, Тепло и Поверхностная Кинетика
Рост снежных кристаллов представляет собой весьма сложный, нелинейный и неравновесный процесс, движимый сложным взаимодействием трех основных физических механизмов: диффузии водяного пара, рассеивания скрытой теплоты и кинетики прикрепления к поверхности.1
Диффузия Водяного Пара (Диффузия Частиц): Этот процесс является основным лимитирующим фактором роста снежных кристаллов.1 Молекулы воды из перенасыщенного воздуха, окружающего кристалл, должны диффундировать к его поверхности, чтобы быть включенными в решетку.1
- Нестабильность Маллинса-Секерки: Эта нестабильность является отличительной чертой роста, ограниченного диффузией, и в значительной степени отвечает за образование ветвящихся узоров, характерных для снежинок. Если на растущей поверхности образуется небольшой выступ, этот выступ будет выступать дальше в перенасыщенную среду, получая более быстрый приток водяного пара. Это создает положительную обратную связь, заставляя выступ расти и в конечном итоге ветвиться, что приводит к формированию сложных дендритных структур. Рост, ограниченный диффузией, по своей сути способствует образованию дендритов.13 Важно понимать, что нестабильность Маллинса-Секерки
усиливает уже существующую симметрию, а не инициирует ее. Если исходный гексагональный кристалл симметричен, а окружающие условия однородны по всем шести лучам, то это усиление будет происходить симметрично на каждом луче. Таким образом, «кооперация» здесь является пассивной, возникающей из однородной внешней среды, которая позволяет внутренней кристаллической симметрии проявляться макроскопически через рост, ограниченный диффузией.
Рассеивание Скрытой Теплоты (Тепловая Диффузия): Когда водяной пар замерзает на кристаллической поверхности льда, он выделяет скрытую теплоту. Эта теплота должна эффективно отводиться от растущего кристалла, чтобы рост продолжался.1 Это формирует «проблему двойной диффузии», включающую как водяной пар, так и тепло.1 Однако для простых гексагональных призм высокая теплопроводность льда часто упрощает эту проблему, сводя ее в основном к проблеме диффузии частиц, поскольку нагрев имеет тенденцию равномерно повышать температуру кристалла.1
Кинетика Прикрепления к Поверхности (Гранеобразование): Вероятность прикрепления молекулы воды к поверхности кристалла зависит от локальной геометрии области столкновения.13 Молекулы с большей вероятностью связываются в дефектах или на ступенях между атомными слоями, чем на плоских поверхностях, где доступно меньше мест связывания.13 Этот процесс, известный как гранеобразование, переводит микроскопическую структуру льда в макроскопические симметрии снежинки, стремясь поддерживать гексагональную форму.13 Хотя поверхностное натяжение (эффект Гиббса-Томсона) играет теоретическую роль, его влияние на макроскопическую морфологию, как правило, незначительно по сравнению с диффузией и кинетикой прикрепления, особенно для более крупных кристаллов.1
Конкуренция и Морфология: Гранеобразование и рост, ограниченный диффузией, являются конкурирующими процессами. Гранеобразование стремится придать кристаллу простую гексагональную форму, в то время как рост, ограниченный диффузией, способствует ветвлению и образованию дендритов.13 Баланс между этими двумя процессами, который очень чувствителен к изменениям температуры и перенасыщения водяного пара, определяет окончательную морфологию снежинки. Более высокая влажность, как правило, приводит к более быстрому росту и более сложным ветвлениям, тогда как более низкая влажность приводит к более простым формам. Окончательная форма снежинки, таким образом, является «уроком истории» о конкретной последовательности условий температуры и влажности, с которыми она столкнулась во время своего уникального путешествия через облако.
Таблица 2: Влияние Температуры и Влажности на Морфологию Снежинок
Температура
Влажность (Перенасыщение)
Типичная Морфология Кристалла
~ -2°C (28°F)
Высокая
Тонкие пластины и звезды
~ -5°C (23°F)
Высокая
Колонны и тонкие иглы
~ -15°C (5°F)
Высокая
Пластины и звезды снова
< -30°C (-22°F)
Высокая
Преимущественно колонны 1
Любая
Низкая
Более простые формы (простые пластины, гексагональные блоки)
Любая
Высокая
Более сложные, ветвящиеся структуры (дендриты)
III. Роль Электростатических Эффектов в Формировании Снежинок
A. Электростатика как Фундаментальная Сила Сцепления
На самом фундаментальном уровне электростатическое притяжение является основной силой сцепления, ответственной за удержание молекул воды вместе в кристаллической решетке льда.3 Это притяжение проявляется в виде водородных связей, которые являются слабыми ковалентными связями, но в совокупности создают прочную, жесткую структуру.6 Полярность молекулы воды, с ее частичными положительными и отрицательными зарядами, является прямой причиной этой электростатической связи.3 Электростатические взаимодействия особенно важны из-за их дальнодействующей природы и их влияния на полярные молекулы, такие как вода, водные ионы и биомолекулы.18 Таким образом, само существование и первоначальная гексагональная форма кристаллов льда фундаментально зависят от электростатических эффектов.
B. Внешние Электрические Поля и Рост Кристаллов Льда
Помимо присущей молекулярной связи, внешние электрические поля, как было показано, значительно модулируют процесс кристаллизации льда.19 Молекулярно-динамические симуляции и экспериментальные исследования демонстрируют, что электрические поля индуцируют ориентационное упорядочивание молекул воды, выравнивая их вдоль направления поля и приводя к образованию структурно упорядоченных квазикристаллических доменов.20
Эти поля могут значительно облегчать образование льда и увеличивать скорость роста кристаллов.17 Например, напряженности поля, превышающие критическое значение (например, 2,5 В·нм⁻¹), могут напрямую индуцировать гомогенную нуклеацию, приводя к образованию кубических структур льда.20 Барьер свободной энергии нуклеации уменьшается с увеличением напряженности поля, тем самым увеличивая скорость нуклеации.20
Однако эта зависимость не является монотонной. Очень высокие напряженности поля (например, выше 20,0 В·нм⁻¹) могут, вопреки интуиции, подавлять образование льда. Это объясняется чрезмерной молекулярной поляризацией, которая нарушает баланс, необходимый для эффективного образования ледяных ядер.20 Эта немонотонная зависимость подразумевает, что любой гипотетический естественный электростатический механизм симметрии будет чрезвычайно чувствителен к точной напряженности поля и ее вариациям. Это добавляет нюанс в обсуждение электростатического влияния на морфологию снежинок, поскольку не всегда "больше электрического поля" означает "более симметричный рост".
При гетерогенной нуклеации электрические поля могут нарушать существующие ледяные ядра из-за молекулярной поляризации, что впоследствии приводит к образованию новых ледяных ядер, ориентированных вдоль направления электрического поля.20 Кроме того, приложенные электрические поля могут изменять
габитус (форму) кристаллов льда, способствуя росту игл и дендритов вместо изометрических форм. Это происходит потому, что электростатическое отталкивание на поверхностях кристалла может противодействовать притягивающим межмолекулярным силам, эффективно снижая межфазное натяжение лед-воздух и влияя на направления роста.22 Высокие градиенты поля вблизи электрифицированных вершин дендритов также могут усиливать диффузию полярных молекул воды, тем самым увеличивая скорость роста этих выступов.17
Таблица 3: Наблюдаемые Эффекты Электрических Полей на Параметры Роста Кристаллов Льда
Диапазон Напряженности Электрического Поля
Влияние на Нуклеацию/Скорость Роста
Влияние на Габитус/Морфологию Кристалла
Основной Механизм
0.0–1.0 × 10⁵ В·м⁻¹ 20
Значительное облегчение 20
-
-
1.0 × 10⁴ – 1.5 × 10⁵ В·м⁻¹ 20
Усиление кристаллизации 20
-
-
>2.5 В·нм⁻¹ 20
Прямая гомогенная нуклеация; снижение барьера свободной энергии нуклеации; увеличение скорости нуклеации 20
Кубические структуры льда 20
Ориентационное упорядочивание молекул воды 20
~5.0 В·нм⁻¹ 20
Быстрая кристаллизация за сотни пикосекунд 20
-
-
>20.0 В·нм⁻¹ 20
Подавление нуклеации 20
-
Чрезмерная молекулярная поляризация 20
73–147 кВ·м⁻¹ (диапазон грозы) 24
Усиление производства льда 24
Иглы и дендриты 24
Электростатическое отталкивание, снижение межфазного натяжения 24
Приведенные данные показывают, что электрические поля являются модуляторами скорости роста и габитуса, а не основными факторами, обеспечивающими макроскопическую симметрию или координацию между лучами. Их роль, по-видимому, заключается скорее во влиянии на тип и скорость роста, чем в обеспечении обратной связи между существующими лучами для поддержания симметрии.
C. Электростатическая Аналогия в Росте, Ограниченном Диффузией
Важным теоретическим инструментом для понимания роста кристаллов, особенно в сценариях, ограниченных диффузией, таких как формирование снежинок, является электростатическая аналогия.25 Эта аналогия утверждает, что поле плотности водяного пара вокруг растущего кристалла математически ведет себя аналогично электростатическому потенциалу (V) вокруг заряженного проводника той же формы.25 Оба поля удовлетворяют уравнению Лапласа, и при определенных условиях граничные условия на поверхности кристалла (однородная плотность пара) могут считаться аналогичными однородному потенциалу на поверхности проводника.25
Эта аналогия приводит к выводу, что скорость увеличения массы кристалла (dm/dt) прямо пропорциональна электростатической емкости (C) гипотетического проводника, имеющего ту же форму и размер, что и кристалл льда.25 Это означает, что формы кристаллов с более высокой емкостью, такие как те, что имеют более выраженные выступы или большую площадь поверхности по отношению к объему, теоретически будут иметь более высокие темпы роста в условиях, ограниченных диффузией.25
Например, расчеты показывают, что сплошные и полые гексагональные ледяные колонны одинаковых размеров имеют почти одинаковую емкость, что подразумевает схожие скорости роста массы.26 Однако, если подача пара остается постоянной, полая колонна может расти быстрее в линейном измерении из-за ее меньшего объема при той же скорости накопления массы, что потенциально приводит к различным соотношениям сторон со временем.26 Аналогия особенно полезна для высокосимметричных форм, для которых теоретические значения емкости хорошо установлены в электростатической литературе.25
IV. Кооперативные Эффекты и Поддержание Симметрии Снежинок
A. Доминирующая Парадигма: Однородные Условия Окружающей Среды
Преобладающий научный консенсус приписывает замечательную шестикратную симметрию лучей снежинки прежде всего тому факту, что все шесть лучей испытывают практически идентичные условия окружающей среды, когда кристалл падает через облако. Снежинка достаточно мала, чтобы изменения температуры и влажности по всей ее структуре были незначительными в любой данный момент.
Когда снежинка кувыркается и опускается, она сталкивается с медленно меняющимися условиями (температура, влажность и, возможно, концентрации загрязнителей воздуха). Поскольку все шесть лучей одновременно подвергаются одним и тем же изменениям, они развивают примерно одинаковые сложные модели роста, что приводит к их сложным и синхронизированным формам. Это часто описывается как действие кристалла, подобное «калейдоскопу», где нерегулярная траектория через облако создает симметричный узор с уникальными деталями.
Такое понимание также объясняет, почему «нет двух абсолютно одинаковых снежинок». Каждая снежинка следует уникальному, хаотическому пути через атмосферу, сталкиваясь с различной историей изменений температуры и влажности. Даже незначительные вариации в этих микросредах или первоначальные несовершенства могут привести к тонким различиям между лучами и общей уникальности.
B. Исследование «Кооперативных» Механизмов в Различных Масштабах
Непосредственно отвечая на вопрос о кооперативном эффекте, при котором форма на одном из симметричных лучей снежинки влияет на другие лучи, заставляя их поддерживать ту же структуру, имеющиеся исследования не подтверждают существование механизма, при котором один макроскопический луч активно влияет на другой для поддержания симметрии посредством электростатических или иных средств. «Кооперация» здесь в значительной степени пассивна, являясь следствием общей внешней среды.
Концепция «кооперативных флуктуаций в сети водородных связей» 12 относится к поведению на молекулярном уровне внутри жидкой или переохлажденной воды, регулируя фазовые переходы и аномалии, а не к макроскопической межлучевой координации в растущем кристалле льда. Эти флуктуации касаются
природы воды и льда на фундаментальном уровне, а не петли обратной связи в реальном времени между удаленными лучами.
«Взаимная обратная связь между образованием льда и его электризацией» 24 относится к тому, как
процесс образования льда может генерировать заряд, и как этот заряд, в свою очередь, влияет на дальнейшее образование льда (например, усиливая нуклеацию или изменяя габитус). Это не описывает механизм поддержания межлучевой симметрии. Эта обратная связь касается общей среды и процесса роста, а не специфической координации между существующими лучами.
Консенсус остается неизменным: однородных условий достаточно для объяснения наблюдаемой симметрии.13 Гипотезы о колебательных модах или броуновском движении как факторах, обеспечивающих симметрию, рассматривались, но общий консенсус склоняется к гранеобразованию и росту, ограниченному диффузией, в однородных условиях.13
C. Самовосстановление Кристаллов и его Отличие от Кооперативного Роста
Кристаллы льда могут проявлять свойства самовосстановления. Это включает кратковременное отделение молекул воды и повторную конденсацию для заполнения порезов или дефектов. Это также наблюдается в других кристаллах.
Однако это самовосстановление является механизмом восстановления повреждений или дефектов, а не активным, кооперативным механизмом роста в реальном времени, который обеспечивает симметрию между несколькими одновременно растущими лучами снежинки. Речь идет о восстановлении целостности, а не о координации одновременных, сложных моделей ветвления на отдельных фронтах роста. Некоторые исследования регенерации дендритов существуют в биологических контекстах (например, нейроны), но они отличаются от физического роста кристаллов льда. Концепция «отрастания сломанного луча снежинки» в смысле биологической конечности не подтверждается физикой роста кристаллов льда. После затвердевания материал фиксируется; рост происходит за счет осаждения новых молекул.
V. Заключение: Синтез и Будущие Направления
Симметрия снежинок, в своей основе, проистекает из гексагональной кристаллической решетки льда (лед Ih), которая формируется благодаря водородным связям — фундаментальным электростатическим силам. Макроскопический рост снежинки определяется сложным взаимодействием диффузии водяного пара, рассеивания скрытой теплоты и кинетики прикрепления к поверхности, при этом нестабильность Маллинса-Секерки играет ключевую роль в формировании ветвлений.
Внешние электрические поля, как показывают исследования, могут модулировать рост льда, влияя на скорость нуклеации, габитус кристалла и общую кинетику роста за счет воздействия на молекулярную поляризацию и поверхностное натяжение. Однако текущие научные данные не указывают на то, что атмосферные электрические поля действуют как основной, активный механизм координации симметрии между лучами на масштабе снежинки. Их влияние, скорее, проявляется в изменении типа и скорости роста, а не в обеспечении активной межлучевой обратной связи для поддержания идентичности.
Доминирующее объяснение поразительной симметрии лучей снежинки заключается в однородности условий окружающей среды (температуры и влажности), с которыми одновременно сталкиваются все лучи из-за небольшого размера снежинки и ее турбулентной траектории в атмосфере. Это означает, что «кооперативный эффект», если его можно так назвать, является пассивным следствием общих условий, а не активным внутренним механизмом, координирующим рост отдельных лучей. «Кооперативные флуктуации» на молекулярном уровне (в сетях водородных связей) относятся к фундаментальным свойствам воды и льда, отличающимся от макроскопической координации между лучами. Кроме того, явление самовосстановления льда является механизмом восстановления дефектов, а не процессом кооперативного роста, направленным на поддержание симметрии во время формирования.
Несмотря на значительный прогресс в понимании формирования снежинок, точные молекулярные механизмы, лежащие в основе чувствительной зависимости морфологии от температуры, остаются загадкой. Дальнейшие исследования сложного взаимодействия этих факторов, потенциально включая тонкие электростатические влияния в естественных атмосферных условиях, могут привести к более глубокому пониманию.
Works cited
- (PDF) The physics of snow crystals - ResearchGate, accessed June 24, 2025, https://www.researchgate.net/publication/30759481_The_physics_of_snow_crystals
- Ice crystal - Wikipedia, accessed June 24, 2025, https://en.wikipedia.org/wiki/Ice_crystal
- Snowflake Shapes - Science Notes, accessed June 24, 2025, https://sciencenotes.org/snowflake-shapes/
- Evolution and the Snowflake | The Institute for Creation Research, accessed June 24, 2025, https://www.icr.org/article/evolution-snowflake/
- Wonders Of Snow - CrossWired Science, accessed June 24, 2025, https://www.crosswiredscience.com/wonders-of-snow/
- SNOW HYDROLOGY (GEOG 4321): ICE PHYSICS - Mark W. Williams, Ph.D, accessed June 24, 2025, http://snobear.colorado.edu/SnowHydro/mol.html
- snobear.colorado.edu, accessed June 24, 2025, http://snobear.colorado.edu/SnowHydro/mol.html#:~:text=In%20ice%2C%20a%20water%20molecule,representing%20a%20lowered%20overall%20energy.
- www.ebsco.com, accessed June 24, 2025, https://www.ebsco.com/research-starters/science/structure-ice#:~:text=The%20structure%20of%20ice%20is,0%20degrees%20Celsius%20or%20lower.
- Structure Of Ice | EBSCO Research Starters, accessed June 24, 2025, https://www.ebsco.com/research-starters/science/structure-ice
- Phases of ice - Wikipedia, accessed June 24, 2025, https://en.wikipedia.org/wiki/Phases_of_ice
- Structure of ice crystallized from supercooled water - PNAS, accessed June 24, 2025, https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1113059109
- Snowflake Model of Water: A Fast Approach for Calculation of Structural Properties of Liquid Water - ResearchGate, accessed June 24, 2025, https://www.researchgate.net/publication/391659748_Snowflake_Model_of_Water_A_Fast_Approach_for_Calculation_of_Structural_Properties_of_Liquid_Water
- The Origin of Symmetry in Snowflakes - Felix Flicker, accessed June 24, 2025, https://www.felixflicker.com/pdf/The_Origin_of_Symmetry_in_Snowflakes.pdf
- water - Why do crystals grow in preferred directions? - Physics Stack ..., accessed June 24, 2025, https://physics.stackexchange.com/questions/158532/why-do-crystals-grow-in-preferred-directions
- The Formation of Snow Crystals | American Scientist, accessed June 24, 2025, https://www.americanscientist.org/article/the-formation-of-snow-crystals
- Instabilities and pattern formation in crystal growth* - JS Langer, accessed June 24, 2025, https://pmc.polytechnique.fr/pagesperso/dg/cours/biblio/RMP%2052,%201%20(1980)%20Langer%20[Instabilities%20and%20pattern%20formation%20in%20crystal%20growth].pdf
- The enigmatic snowflake - Physics World, accessed June 24, 2025, https://physicsworld.com/a/the-enigmatic-snowflake/
- Biomolecular electrostatics and solvation: a computational perspective - PMC - PubMed Central, accessed June 24, 2025, https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC3533255/
- pmc.ncbi.nlm.nih.gov, accessed June 24, 2025, https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC8618217/#:~:text=The%20results%20show%20that%20the,relaxation%20polarization%20of%20hydrated%20ions.
- Electric-Field-Induced Ice Crystallization: A Molecular Dynamics ..., accessed June 24, 2025, https://pubs.acs.org/doi/10.1021/acs.langmuir.5c01173
- Electric-Field-Induced Ice Crystallization: A Molecular Dynamics Study | Langmuir, accessed June 24, 2025, https://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/acs.langmuir.5c01173
- Characterizing Ice Crystal Growth Behavior Under Electric Field Using Phase Field Method, accessed June 24, 2025, https://www.researchgate.net/publication/26702944_Characterizing_Ice_Crystal_Growth_Behavior_Under_Electric_Field_Using_Phase_Field_Method
- The growth of ice crystals in an electric field - OUCI, accessed June 24, 2025, https://ouci.dntb.gov.ua/en/works/leaOLjkl/
- Electric Fields Enhance Ice Formation from Water Vapor by Decreasing the Nucleation Energy Barrier - MDPI, accessed June 24, 2025, https://www.mdpi.com/2504-5377/6/1/13
- Use of the electrostatic analogy in studies of ice crystal growth - Kirk T. McDonald, accessed June 24, 2025, http://kirkmcd.princeton.edu/JEMcDonald/mcdonald_zamp_14_610_63.pdf
The capacitance of solid and hollow hexagonal ice columns - ResearchGate, accessed June 24, 2025, https://www.researchgate.net/publication/238525182_The_capacitance_of_solid_and_hollow_hexagonal_ice_columns