На канале Валерия Казакова Наглядная геометрия разобрано решение задачи под заголовком По следам «профессора».
1. В прямоугольник ABCD вписали прямоугольный треугольник AMK с прямым углом M так, что M — середина стороны BC, а K — точка стороны CD. Найдите длину отрезка AM, если AB = 3, AK= 5.
Решение, показанное ведущим канала, в заключительном кадре выглядит так.
Источник. По следам «профессора» | Наглядная геометрия | Дзен. https://dzen.ru/video/watch/67efa82b7debbc30d7e4c8ca
В решении задачи применено и равенство треугольников, и подобие треугольников, а мы решим эту задачу «бесподобно», то есть без подобия треугольников.
Решение. Проведём MO — перпендикуляр к BC, O — точка отрезка AK.
Так как три перпендикуляра к стороне BC параллельны и BM = MC, то по теореме Фалеса AO = OK= 2,5. Медиана MO, проведённая к гипотенузе, равна её половине, поэтому MO = 2,5. В трапеции ABCK MO — средняя линия, поэтому
2,5 = (3 + CK) : 2, CK = 2, тогда KD = 1.
Теперь применим два раза теорему Пифагора.
Идея решения заключается в том, чтобы применять более ранние теоремы из опыта школьника при более простых дополнительных построениях.