Здравствуйте, уважаемые читатели! Работая в школе заметил, что за два года в каждом из трех классов старшей школы у пары человек были одинаковые даты рождения, а в остальных случаях можно было заметить, что некоторые даты рождения почти совпадают. Оказывается, есть целая теория на этот счет.
Парадокс дней рождения - это утверждение, которое говорит о том, что в группе людей из 23 человек вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двоих равняется 50%. Это кажется интуитивно неочевидным (поэтому и называется парадокс) потому, что в году 365 или 366 дней (последнее - високосный год). И кажется, что для достижения 50% количество человек в группе должно быть равно половине от числа дней в году, то есть примерно 183. Тогда и получается, что 183 делится на 366 и получается 0,5 или 50%. Но математика говорит, что совпадения возникают гораздо раньше.
В чем проблема интуитивного подхода? Его проблема в том, что даты рождения каждого из группы лиц сопоставляются с датами в году и не учитывается взаимодействие между людьми в группе. То есть ключ к разгадке - в количестве пар людей, а не в сравнении каждого с отдельным днём года.
Сколько пар людей можно составить в группе из 23 человек? Интуитивно понятно, что в группе из 3 человек можно составить три пары, в группе из 4 человек - шесть пар (это можно понять, если нарисовать 4 палочки и найти среди них все пары по две). Для группы из 23 человек таким способом вычислять пары довольно долго, поэтому обратимся к формуле числа сочетаний, которая поможет сделать это быстрее.
Если рассмотреть одну пару людей, то вероятность того, что их даты рождения совпадут, равна 1/365 (пару сопоставляем с датами в году). Тогда вероятность того, что у этой же пары даты рождения не совпадут, равна 364/365 (обратная вероятность). А сколько у нас всего таких пар? 253. Как найти вероятность того, что у всех 253 пар даты рождения не совпадут? Умножить вероятность несовпадения дат рождения одной пары саму на себя 253 раза, то есть возвести в эту степень.
Тогда получается , что для нахождения вероятности того, что хотя бы у двух людей окажется одна дата рождения, необходимо из единицы вычесть последнюю вероятность, так как эти вероятности обратные.
Для вычисления этой вероятности мы использовали 365 дней в году. Если учитывать високосные годы (366 дней), вероятность чуть снижается, но незначительно.
Таким образом получается, что при наличии в группе 23 человек вероятность совпадения дней рождения хотя бы у одной пары равна примерно 50%. Вот так интересно можно это показать.
Парадокс дней рождения - отличный пример того, как наша интуиция может обманываться в вероятностных задачах, а комбинаторика даёт неожиданные результаты!
Всем спасибо за внимание! До скорых встреч!