В профильном ЕГЭ по математике прямоугольный треугольник — это базовая фигура, которая встречается как в простых задачах (№1), так и в более сложных (№14 и №17 ). Чтобы уверенно решать такие задачи, важно знать не только основные формулы, но и их практическое применение.
В этой статье ты найдёшь:
- Подробное объяснение теоремы Пифагора
- Свойства вписанной и описанной окружностей
- Тригонометрические функции
- Как находить площадь
- Реальные примеры задач из ЕГЭ с разборами
1. Что такое прямоугольный треугольник?
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов равен 90° . Этот угол называется прямым , а две стороны, которые его образуют, — катетами . Третья сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой .
Катеты всегда короче гипотенузы. Прямоугольные треугольники часто встречаются в задачах ЕГЭ, потому что они имеют множество удобных свойств и формул.
2. Теорема Пифагора: как найти сторону треугольника
Теорема Пифагора — одна из самых известных и полезных формул в математике. Она позволяет находить длину любой стороны прямоугольного треугольника, если ты знаешь две другие.
Смысл теоремы прост:
Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Другими словами, если ты знаешь длины обоих катетов, ты можешь найти гипотенузу. И наоборот — если знаешь гипотенузу и один катет, можно найти второй.
Формула выглядит так:
c² = a² + b²
где a и b — длины катетов, c — длина гипотенузы.
Например:
Если один катет равен 3 см, второй — 4 см, то гипотенуза будет равна:
3. Как связаны углы в прямоугольном треугольнике?
В любом треугольнике сумма всех трёх углов равна 180° . Поскольку один из углов прямоугольного треугольника уже составляет 90° , два других угла обязательно будут острыми (меньше 90°), и их сумма будет равна:
∠A+∠B=90∘
Значит, если ты знаешь один острый угол, ты сразу можешь найти второй, просто отняв от 90°.
📌 Например:
Если один угол равен 35°, то второй будет равен:
90∘−35∘=55∘
4. Особые случаи: когда один из углов равен 30° или 45°
✅ Угол 30°:
Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 30° , то:
- Катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы .
- Другой острый угол автоматически будет равен 60° .
Формула:
✅ Угол 45°:
Если оба острых угла равны 45° , то треугольник называется прямоугольным равнобедренным . В этом случае:
Оба катета равны друг другу.
Формула:
📏 5. Тригонометрические функции
Тригонометрические функции помогают связывать стороны и углы прямоугольного треугольника. Вот три основные функции:
✅ Синус (sin ):
Синус угла — это отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.
Формула:
✅ Косинус (cos ):
Косинус угла — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.
Формула:
✅ Тангенс (tg ):
Тангенс угла — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.
Формула:
📊 6. Нахождение площади
Площадь прямоугольного треугольника находится по формуле:
где a и b — длины катетов.
📐 7. Вписанная и описанная окружность
🔹 Описанная окружность
Центр описанной окружности находится на середине гипотенузы . Радиус:
где c — длина гипотенузы.
🔸 Вписанная окружность
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Радиус:
📊 8. Решаем задачи из ЕГЭ
пример 1
пример 2
пример 3
пример 4
пример 5
Готовься систематически, решай задачи каждый день и не бойся начинать с самого начала. Даже самая длинная дорога начинается с одного шага — а твой путь к высокому баллу на ЕГЭ — с этой статьи.
Увидимся в следующих разборах!