(начало ранее: Часть вторая. Индукция, баланс вихревого электрического поля
https://dzen.ru/a/aEbHFYgWEQNRyxgQ )
1.
ответ на вопрос "когда какой вихрь балансируется" (когда магнитный, когда электрический)
случайно проведенные опыты показывают что "взаимная индукция" это всегда результат балансировки вихревого магнитного поля в контуре, а "самоиндукция" это всегда результат балансировки вихревого электрического поля в контуре
самоиндукция в одиночном контуре не дает понять какой именно компонент электромагнитного поля (электрический или магнитный) балансируется, но в двух связанных контурах видно что "самоиндукция" во втором контуре это результат балансировки именно вихревого электрического поля
2.
ответ на вопрос "откуда берется мощность, когда во втором контуре постоянный ток"
если в дополнение к выражениям индукции в контурах, написать уравнение баланса мощности, то видно что баланс выполняется и для постоянных токов в контурах (в первом контуре возникнет дополнительный постоянный ток, энергия которого равна энергии потраченной постоянным током второго контура)
U[1*I[1 = U[2*I[2
при Kтр = U[2/U[1
I[1 = U[2*I[2/U[1 = Kтр*I[2
I[2 постоянный ток, Kтр константа, значит I[1 тоже постоянный ток
1/Kтр = I[2/I[1
но какова физическая природа такой трансформации постоянного тока "I[2/I[1", ведь явление индукции работает только на переменных токах?
2.1
а почему дифференциальные уравнения выражений индукции в контурах не содержат этого баланса постоянного тока и нам понадобилось добавлять баланс мощности?
на самом деле содержат, интегрируя дифференциальные уравнения выражений индукции в контурах, мы получаем множество решений (множество функций тока) различающихся друг от друга только на константы (там будет три интеграла при вычислении тока в контуре и значит три неизвестные константы выбираемые в итоговое решение из начальных условий или иных факторов)
подгоняя под опыт (подгоняя под баланс мощности), можно выяснить какие именно начальные условия влияют на какие из трех интегралов, и какие именно константы будут входить в какую функцию, и как это дает нам в итоге формальные выражения для трансформации постоянного тока при решении только диф уравнений (не прибегая к помощи баланса мощности)
но опять же, остается вопрос какова физическая природа такой трансформации постоянного тока "I[2/I[1"? из абстрактной математической модели уравнений физическую природу восстановить нельзя
2.2
если собрать цепь с R во втором контуре и подать напряжение U[1 на первый контур, то начнется переходной процесс установления постоянного тока во втором контуре:
- изменение первичного тока в первом контуре вызывает переходной процесс достижения постоянного тока во втором контуре;
- во время переходного процесса индукция переменного тока во втором контуре вызывает трансформированную копию "достижения постоянного тока" в первом контуре;
т.е. начальное появление постоянных токов в обоих контурах вызвано переходным процессом установления постоянного тока во втором контуре и выполняется обычными силами законов индукции
затем подержание постоянного тока в обоих контурах основано опять на изменение первичного тока в первом контуре, но как именно происходит влияние изменения первичного тока в первом контуре на такое поддержание постоянного тока?
для модели пояснения, можно себе представить что постоянный ток второго контура это сумма двух линейно меняющихся на малом интервале dt токов разного знака но равных значений dI, и при суммировании этих двух токов дающих нулевой ток (-dI + dI=0), что и сохраняет постоянное значение тока, полученного после переходного процесса:
- один меняющийся ток это разряд накопленного заряда Uхх на внешний конечный ненулевой R (этот ток вызван наличием Uхх приложенного к R);
- второй меняющийся ток это восстановление утраченного заряда Uхх индукционным током с ЭДС=M*dI[1/dt от первого контура (этот ток вызван наличием первичного переменного тока в первом контуре "M*dI[1/dt");
- второй меняющийся ток также компенсирует падение установленного переходным процессом постоянного тока в первом контуре путем взаимной индукции на первый контур (мы предполагаем это именно компенсация и она происходит даже если во внешней цепи первого контура есть ненулевое сопротивление R[1);
т.е. переменный ток в первом контуре вызывает рост индукционного тока заряда Uхх что и компенсирует потери на внешние R в обоих контурах и сохраняет предыдущий постоянный ток, а весь процесс роста индукционного тока заряда Uхх запускается переменным током разряда Uхх на внешний R во втором контуре
на следующем рисунке пример пилообразного графика двух токов, это произвольная (и в чем то физически некорректная) форма тока, но она позволяет иллюстрировать принцип суммирования токов
случайно проведенные опыты с поведением контуров показывают, что вероятно такое объяснение допустимо
2.3
а может ли сумма таких токов давать нулевую постоянную составляющую?
ненулевая постоянная составляющая возникает при переходном процессе установления постоянного тока, и в нашем примере электро цепи трудно представить себе такой переходной процесс с нулевым установившимся постоянным током
а может ли сумма таких токов происходить при нулевом Uхх?
разрядный ток второго контура вызван наличием именно ненулевого Uхх, при нулевом Uхх не будет разряда на R и не будет индукционного тока компенсации
3.
ответ на вопрос "что будет если накоротко (через нулевое R) замкнуть контур с начальным током"
предыдущий метод "суммирования двух переменных токов дающих один постоянный ток" позволяет помочь ответить на этот вопрос
варианта решения видится два:
- идеальный контур разрядится от тока Io до нулевого тока через время от 0 до T, генерируя функцию эдс самоиндукции E(t) = L*dI(t)/dt неизвестной формы;
- идеальный контур будет вечно сохранять постоянный ток Io (аналогично тому как идеальный конденсатор вечно хранит постоянное напряжение);
на доступных опытах замыкание контура всегда проходит через существенно ненулевое R, поэтому у нас всегда происходит "разряд по экспоненте" на ненулевое R и поведение идеального контура на опыте проверить трудно, но мы попробуем поведение идеального контура определить из теоретических рассуждений
3.1
для первого случая
проводя аналогию с зарядом контура током от внешнего эдс, из выражения E(t) = L*dI(t)/dt мы видим что при таком заряде "вынуждающая" E(t) определяет характер "свободного" параметра dI(t)/dt и можно было бы предположить что разряд контура в ноль будет аналогичным (в роли "вынуждающей эдс" выступит замыкание контура дающее E(t)=0, и мы в этом случае как бы считаем, что нам безразлично конкретное значение внешней ЭДС, это может быть ноль или константа или синус и т.п.)
однако при замыкании контура "E(t)" это именно "сила ЭДС" и в такой конфигурации цепи сила ЭДС вихревого поля не равна кулоновскому напряжению на концах контура (при замыкании на концах контура нулевое напряжение)
поэтому замыкание контура на ноль на деле оставляет эдс "свободным" параметром (замыкание контура ограничивает только "нулевое сопротивление замкнутого участка", но ничем не ограничивает значение наводимой эдс самоиндукции, и эдс самоиндукции вихревого электрического поля не всегда равна напряжению на концах контура) и тогда в выражении E(t) = L*dI(t)/dt у нас одно уравнение и два "свободных" (неизвестных) параметра "E(t)" и "dI(t)/dt", у нас недостаточно уравнений чтобы их найти
физически эта модель первого случая выглядит так, что мы ожидаем что контур попытается сбросить ток от Io до 0 за время dt на что эдс самоиндукции даст противоток за цену потери части Io, т.е. мы ожидаем что действие эдс самоиндукции потребляет энергию контура
однако, если для выражения спадающего тока построить несколько графиков с разными R, то видно что все экспоненты стремятся сохранять исходный ток по мере снижения R все хорошо переходит и асимптотически приближается к прямой параллельной оси Х и равной начальному току (нет стремления к линейной функции спадания тока, когда скорость ограничена только индуктивностью как это происходит при росте тока с заданной постоянной вынуждающей эдс), т.е. все экспоненты разряда контура сходятся к идее сохранения в контуре исходного постоянного тока
для модели первого случая у нас две проблемы:
- графики не сходятся к линейной функции спадания тока;
- а математическая модель не позволяет аналитически рассчитывать вид функции тока;
и прежде чем пытаться эти проблемы объяснять, давайте сначала рассмотрим модель второго случая
3.2
для второго случая
идея сохранения в контуре постоянного тока будет работать, если удастся доказать что вихревое электрическое поле перемещая в контуре заряды вокруг центра контура и не меняя их взаимного расположения не совершает работы, т.е. мы ожидаем что действие эдс самоиндукции не потребляет энергию контура
например, модель сохранения тока можно себе представить так:
- идеальный радиус кольца контура;
- есть четыре заряда на кольце контура и они неподвижны относительно друг друга;
- вихревое электрическое поле вращает одновременно эти заряды вокруг центра кольца по контуру, создавая в контуре постоянный ток;
при таком вращении заряды не взаимодействуют ни с чем, скорость их движения постоянна и направлена по касательной к окружности, а сила вихревого электрического поля перпендикулярна радиусу окружности (по направлению центростремительного ускорения) и работу не совершает (не тратит энергию контура), только сохраняет исходное постоянное движение зарядов с касательной скоростью (сохраняет силу тока)
в таком случае у нас при разряде контура на замыкание есть два тока:
- разрядный ток контура от начального тока Io до нулевого тока за время dt;
- противонаправленный ток равной величины созданный эдс самоиндукции контура за время dt и не потребляющий энергию от контура;
в данном случае нет ситуации равной предыдущим примерам явлений индукции, когда на ток в контуре действовала дополнительная вынуждающая сила и явление индукции выглядело как:
"исходный_поток - противодействие = остаточный_поток";
так что "противодействие = k*остаточный_поток";
а "остаточный_поток" был необходим для работы "противодействия" силами индукции;
в нашем случае "остаточный_поток" равен нулю, а "исходный_поток" строго равен "противодействию"
величина эдс самоиндукции контура "E(t)" тоже определяется выражением "E(t) = L*dI(t)/dt" и как то зависит от L и Io, но в сумме оба тока равны по модулю dI и противонаправлены друг другу, так что исходный постоянный ток в контуре сохраняется
и напомним что если для выражения спадающего тока построить несколько графиков с разными R (см. рис 2), то видно что все экспоненты стремятся сохранять исходный ток по мере снижения R т.е. все экспоненты разряда контура сходятся к идее сохранения в контуре исходного постоянного тока
опыт с нулевым R провести трудно и наши идеальные параметры модели трудно проверить, но по указанным нами косвенным причинам эта модель "второго случая" кажется наиболее правдоподобной
если идеальную емкость можно зарядить напряжением и разомкнуть и емкость будет хранить заряд вечно (если емкость замкнуть, то она потеряет заряд), то в модели "второго случая" идеальную индуктивность можно зарядить током и замкнуть и индуктивность будет хранить ток вечно (если контур разомкнуть, то он потеряет ток),
т.е. в модели "второго случая" идеальная индуктивность не различает случаи:
- нулевой магнитный поток от отсутствия тока в контуре;
- ненулевой магнитный поток постоянной величины от ненулевого протекающего тока постоянной величины;
и оба вида потока одинаково хорошо сохраняются с помощью самоиндукции
3.3
по аналогии с разрядом контура на разный R во внешней цепи, рассмотрим случай для контура которая наращивает ток с разными R во внешней цепи
если для выражения тока построить несколько графиков с разными R, то видно что все экспоненты более плавны чем наиболее быстро изменяющийся линейный ток (когда скорость ограничена только индуктивностью) все хорошо переходит и асимптотически приближается к линейной функции по мере снижения R
формально проверить это утверждение для используемой математической модели можно если доказать справедливость неравенства
что для любого t>0
Uxx*t/L >= Iуст*(1-exp(-t/tau));
где tau=L/R, Iуст = Uxx/R, а "Uxx*t/L" соответствует току "L*dI/dt"
Uxx*t/L >= (Uxx/R)*(1-exp(-t/tau));
t >= (L/R)*(1-exp(-R*t/L));
обозначим "x= R*t/L"
х >= 1 - exp(-x)
x-1 >= -exp(-x)
(x-1)*exp(x) >= -1
на интервале "x >= 1" левая часть "(x-1)*exp(x)" >= 0, что строго больше -1
при x = 0 "(x-1)*exp(x)" точно равна -1
осталось исследовать интервал 0 < x < 1
на графике в окрестности 0 функция сливается с осью y=-1 (не разобрать кто больше кто меньше)
и для того чтобы понять характер изменения функции левой части (убывает, возрастает и т.п.) рассмотрим производную левой части d((x-1)*exp(x))/dx = x*exp(x) (потому что производная это касательная к графику функции)
производная равна 0 при x = 0, это точка локального экстремума функции (производная в этой точке параллельна оси Х)
для всех x > 0 производная сохраняет знак, больше нуля и возрастает с ростом x, т.е. функция выпуклая вправо и во всех точках интервала поднимается над прямой y=-1 (между функцией и прямой y=-1 всегда есть угол равный значению производной)
т.е. неравенство выполняется и на интервале 0 < x < 1, левая часть "(x-1)*exp(x)" строго больше -1 (и значит все экспоненты тока заряда по мере снижения R стремятся к линейной функции тока, когда скорость роста тока ограничена только индуктивностью L)
на следующем рисунке график функции "(x-1)*exp(x)" и ее производной "x*exp(x)" на интервале 0 < x < 1