3099 подписчиков

Как вынести за скобки общий множитель. Разложение на множители. Повторяем математику 7 класс

24 июня24 июн

10 мин

Оглавление

Вот какие задания рассмотрим сегодня:
Способы разложения на множители:
Что от нас хотят в заданиях "Разложите на множители"

🔹 Подборка Повторяем математику 7 класс здесь

Вот какие задания рассмотрим сегодня:

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Сегодня будут задания, в которых нужно выносить за скобку всего 1 раз.

В следующий раз будем изучать метод группировки с вынесением общих множителей за скобку.

〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰

В наших сегодняшних заданиях нужно будет раскладывать на множители. Я хочу, чтобы вы понимали, что есть несколько способов разложения на множители, и вынесение общего множителя за скобку - лишь один из них.

Способы разложения на множители:

1) вынести общий множитель за скобку - в 7 классе это точно нужно уметь (сегодня это и будем тренировать)

2) формулы сокращенного умножения - это проходят в 7 классе (это ОООчень нужно уметь! есть уже три занятия на эту тему в подборке "Повторяем математику 7 класс" https://dzen.ru/suite/9e6f9c62-b644-4c3b-979e-0283a34a129e?share_to=link)

3) формула разложения квадратного трехчлена (проходят позже 7 класса, сейчас не рассматриваем такой способ)

4) деление столбиком многочлена на двучлен (проходят гораздо позже 7 класса, тоже сейчас не рассматриваем)

Есть и другие способы, но я их вообще не рассматриваю в своих материалах. Считаю, что этих способов более чем достаточно.

Что от нас хотят в заданиях "Разложите на множители"

Задания могут звучать по-разному:

🔹 Разложите на множители

🔹 Разложите на множители многочлен

🔹 Представьте в виде произведения

🔹 Представьте в виде произведения двух многочленов

🔹 Вынесите за скобки общий множитель

🧐🧐🧐 Обращаю ваше внимание, что по сути это все одно и то же задание! Нам дается какое-то исходное выражение с итоговыми знаками действия "+" или "-", а мы должны получить итоговый знак действия "*":

🧐🧐🧐 Я хочу, чтобы вы понимали, что в школе задания "Разложите на множители" идут только пару уроков, пока вы проходите эту тему. НО на самом деле, в дальнейшем постоянно нужно будет раскладывать на множители, вынося за скобку общий множитель и используя формулы сокращенного умножения! При этом в формулировке задания ни слова не будет об этом сказано!!! Подразумевается, что вы сами понимаете, что именно надо делать 🤗

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

В каких заданиях в дальнейшем используется умение разложить на множители:

🔹 Преобразование и упрощение выражения, чтобы потом найти его значение:

🔹 Сокращение дробей:

🔹 Упрощение сложных функций для дальнейшего исследования и построения графика:

🔹 Решение уравнений:

🔹 Решение неравенств:

🔹 Приведение дробей к общему знаменателю:

Как видите, нигде не сказано, что нужно раскладывать на множители!

Эти примеры я брала из ВПР 7,8 класс; ОГЭ, ЕГЭ.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Когда можно выносить общий множитель за скобку?

У нас должен быть многочлен, который состоит из двух или более слагаемых. Причем у этих слагаемых должно быть что-то одинаковое в составе.

Рассмотрим многочлен из трех слагаемых: 5х, -5а, 5у.

У всех этих слагаемых есть что-то общее в составе - это число 5. Причем в составе каждого слагаемого 5 умножается на что-то:

в первом слагаемом 5х : 5 умножается на х;

во втором слагаемом -5а : 5 умножается на -а;

в третьем слагаемом 5у : 5 умножается на у.

А если 5 умножается на что-то, то эту пятерку можно назвать множителем.

А так как 5 есть в каждом слагаемом, то есть этот множитель одинаковый, то его и называют общий множитель.

Как выносить за скобку общий множитель?

Итак, в нашем случае общий множитель - это 5.

Теперь можно его (этот общий множитель) выносить за скобку:

⭐ нужно написать общий множитель один раз

⭐ тут же открыть скобку

⭐ расписать внутри скобок то, что осталось после вынесения

⭐ закрыть скобку.

Посмотрим на нашем простом примере:

Так как мы из каждого слагаемого убираем этот общий множитель за скобку, то в скобках расписываем то, что осталось от слагаемого:

в первом слагаемом 5х : 5 убрали - остался х;

во втором слагаемом -5а : 5 убрали - осталось -а, будьте внимательны, не теряйте минусы!

в третьем слагаемом 5у : 5 убрали - остался у со знаком плюс.

Таким образом, мы вынесли общий множитель за скобку. При этом получили разложенное на множители выражение: первый множитель - это 5, второй множитель - это наша скобка х-а+у.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Как проверить, правильно ли вынесли за скобку?

Очень хороший способ проверки при вынесении общего множителя за скобку - это раскрыть скобку обратно:

проверка при вынесении общего множителя за скобку - раскрыть скобку обратно

Тренировались раскрывать скобки тут:

Как раскрывать скобки с простыми выражениями? Умножение одночлена на многочлен. Повторяем математику за 7 класс

Подслушано по Математике17 июня 2024

Как раскрывать скобки? Умножение многочлена на многочлен. Повторяем математику за 7 класс

Подслушано по Математике24 июня 2024

Есть еще один способ - можно подставить числа вместо букв в исходное выражение и в ваш ответ:

проверка при вынесении общего множителя за скобку - подставить числа

😎😎😎 Лично мне больше нравится первый способ проверки - раскрыть скобки обратно. Тут и лишний раз тренируешь раскрытие скобок, и за знаками сразу же следишь! 😉😉😉

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Как НЕЛЬЗЯ выносить за скобку?

Вроде бы все в общих чертах понятно, когда, что и как выносить за скобку.

Но, тем не менее, есть такие ученики, которые пытаются "вынести за скобку", но на самом деле делают при этом ошибки.

Случай первый

Теряются знаки перед слагаемыми в скобках:

ошибки при вынесении общего множителя за скобку - потеряли минус

Поэтому я настоятельно рекомендую хотя бы в уме делать устную мини-проверку: раскройте скобки обратно - посмотрите, совпадет ли с исходным выражением?

Случай второй

Путаница с дробями - пытаются вынести множитель не из числителя, а из знаменателя:

ошибка при вынесении за скобку - путаница с дробями

Случай третий

Вынесение "общего множителя" из слагаемого, в котором нет этого общего множителя:

ошибка при вынесении за скобку - из слагаемого, в котором нет общего множителя

Случай четвертый

Допускается и такая ошибка: когда общий множитель совпадает с одним из слагаемых, тогда теряется внутри скобок единица, которая должна остаться!

ошибка при вынесении за скобку - теряется внутри скобок единица, которая должна остаться

Случай пятый

Случается даже такое... Пытаются "вынести общий множитель" из одночлена, а не из многочлена:

ошибка при вынесении за скобку - из одночлена вынести общий множитель НЕЛЬЗЯ

Суть вынесения общего множителя за скобки в том, чтобы вынести что-то одинаковое хотя бы из двух слагаемых!

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

🤓🤓🤓 Если вы вспомнили еще какие-то популярные ошибки при вынесении общего множителя за скобку - напишите, пожалуйста, в комментариях 👇👇👇

Мои обозначения

Как вы заметили, во всех примерах стараюсь одинаково выделять основные элементы для данной темы:

1) слагаемые - круглая скобка:

2) общий множитель - квадратная скобка:

3) серые стрелки - что остается от слагаемых после вынесения:

😎😎😎 А теперь самое время перейти к сегодняшним заданиям 💃💃💃

Задание 1. Вынесите общий множитель за скобку.

Проанализируем ситуацию: по заданию нужно было вынести общий множитель за скобку. Мы определили, что именно является общим множителем, вынесли за скобку, а в скобках расписали то, что осталось от слагаемых после вынесения.

В итоге мы получили разложение на множители: 7 и х-2.

А теперь проверка. Как я писала выше, можно двумя способами проверить, правильно ли вы вынесли за скобку. В сегодняшних заданиях я буду использовать первый способ проверки - раскрыть скобку обратно:

Задание 1. Вынесите общий множитель за скобку - проверка

😎😎😎 Если вы хорошо усвоили данную тему, то решение должно выглядеть вот так:

То есть все рассуждения про то, что является общий множителем, что останется и т.д. происходят в уме.

Удобно расписывать еще вот так в более сложных примерах:

🤓🤓🤓 Этот пример расписала подробно, со следующего примера буду просто выделять круглой скобкой - слагаемые, квадратной скобкой - общий множитель, серыми стрелками - то, что остается от слагаемых и идет в скобки.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Задание 2. Вынесите общий множитель за скобку.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Задание 3. Разложите на множители.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Задание 4. Разложите на множители.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Задание 5. Разложите на множители.

Когда есть степени, например, квадраты, кубы, то помните, что часть из этой степени уходит за скобку, а часть остается!

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Задание 6. Разложите на множители.

🧐🧐🧐 Напоминаю! Старайтесь в уме тренировать поиск общего множителя! Стремитесь к тому, чтобы ваше решение выглядело так:

Если сейчас это кажется очень трудным, то это означает только одно - вам нужно еще потренироваться 🤗🤗🤗

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Задание 7. Разложите на множители.

Таких больших занятий по степеням для 7 класса у меня пока нет, но есть напоминалки по каждой из пяти формул:

НАПОМИНАЛКИ дня 😎😎😎 🎯🎯🎯 Лови 7 напоминалок со степенями! ✅✅✅ Здесь все-все-все напоминалки! 〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰 🔔 Новые задачки, напоминалки, видео в моем телеграме 🗝 Путеводитель по каналу Подслушано по Математике здесь

Подслушано по Математике26 ноября 2022

Все напоминалки смотри здесь:

👆 Напоминалки Шпаргалки по математике

Подслушано по Математике6 мая 2022

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Задание 8. Разложите на множители.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Задание 9. Разложите на множители.

🙄 Захотелось сразу раскрыть скобки? Если да, то помните - скобки не всегда надо сразу раскрывать! Представьте, что вы раскрыли скобки. Что получится? Получится многочлен из трех слагаемых. А по заданию нам что нужно? Нам нужно, наоборот, разложить на множители! Поэтому, прежде чем что-то делать - подумайте, приведет ли это вас к поставленной цели 🧐

Распишем подробно решение:

Сейчас итоговое действие - это умножение, значит, мы разложили на множители.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~