Во время войны семья Моргуновых жила бедно, часто голодала. Однажды мать Евгения принесла пачку масла, и голодный подросток съел ее всю, без хлеба. Ему тут же стало плохо, это происшествие нарушило обмен веществ и позже привело к развитию диабета.
Однако Евгений, с детства проявлявший творческие таланты, не оставлял мечты о сцене и театре. В 1943 году будущий артист написал шутливое письмо Иосифу Сталину:
Уважаемый Иосиф Виссарионович, примите меня в искусство. Я рабочий Сокольнического вагоноремонтного завода СВАРЗ, болваночник, хочу быть в искусстве, участвовал в самодеятельности, работал в массовке на «Мосфильме». Но директор нашего завода препятствует этому стремлению. Я хочу быть как Станиславский, Немирович-Данченко.
В ответ на это письмо Моргунов получил неожиданную и совсем не шуточную рекомендацию:
Направить товарища Моргунова Е. А. для поступления в Театр имени Таирова в качестве актера вспомогательного состава.
Так Евгений Моргунов попал в Камерный театр, где его заметил один из крупнейших режиссеров того времени — Сергей Герасимов и через год взял на свой курс во ВГИК.
Благодаря Герасимову Моргунов получил одну из самых известных своих киноролей — роль Стаховича в фильме «Молодая гвардия». Впрочем, народной любви маска отрицательного героя ему не принесла, скорее наоборот. Из-за роли молодого актера однажды избили незнакомые парни. На вопрос «За что?» те ответили, мол, за то, что играл предателя. С тех пор Моргунов за подобных персонажей не брался.
Коллеги Моргунова говорили, что он часто позволял себе шутить над ними и над руководством, из-за чего ввязывался в конфликты. Но вот мнение об актере режиссера Георгия Данелии:
В работе актера над ролью есть понятие "пристройка". Пристройки могут быть разные: снизу, на равных, сверху. У Моргунова в его моноспектаклях были только две пристройки: на равных – с начальством, а также сверху – со всеми остальными. С начальством любого ранга он общался по-приятельски: радушно и раскованно, как с одноклассником, с которым сидел за одной партой. А с остальными говорил спокойно, ровным голосом, с чувством собственного превосходства и легкого презрения. "Остальные" понимали, что перед ними – начальник. И поэтому его слушались и всюду пускали.
В жизни Моргунова было две женщины. С балериной Большого театра Варварой Рябцевой Евгений Александрович прожил 10 лет.
С будущей второй женой Натальей актер познакомился в 1963 году: девушка вместо института по ошибке позвонила своей подруге, а трубку взял гостивший у нее Моргунов. Он представился работником кафедры и несколько раз перезванивал студентке по «учебным» вопросам. А позже решился пригласить ее на свидание. Свадьба Моргуновых состоялась в 1965 году, позже родились их сыновья, Антон и Николай.
Наталья не только поддерживала мужа в самые трудные моменты жизни, но и следила за тем, чтобы он хоть изредка следовал указаниям врачей. По ее воспоминаниям, муж любил жить красиво, поэтому никаких диет не придерживался — ел все, что хотел, даже пропускал уколы инсулина. Плохое здоровье влияло и на отношения актера с семьей и друзьями. Наталья Моргунова вспоминала, что муж легко раздражался, мог вспыхнуть по любому поводу, однако, по ее мнению, причиной этого был диабет.
...Здоровье артиста окончательно ухудшилось после того, как в автокатастрофе погиб его младший сын Николай. Моргунов вскоре перенес два инфаркта и инсульт, а ровно через год после смерти сына, 25 июня 1999 года, не стало и его самого.