Передаточная функция по ошибке (Error Transfer Function) — это важная концепция в теории управления, особенно при анализе систем с обратной связью. Она описывает, как ошибка (разница между заданным значением и фактическим выходом системы) изменяется в зависимости от входного сигнала.
Определение:
Передаточная функция по ошибке, обозначаемая как E(s)/R(s) или G_e(s), представляет собой отношение преобразования Лапласа ошибки E(s) к преобразованию Лапласа задающего воздействия R(s), при условии нулевых начальных условиях.
G_e(s) = E(s) / R(s)
Где:
G_e(s) — Передаточная функция по ошибке E(s) — Преобразование Лапласа ошибки R(s) — Преобразование Лапласа задающего воздействия (входного сигнала) s — Комплексная переменная Лапласа
Вывод формулы передаточной функции по ошибке для системы с обратной связью:
Рассмотрим типичную систему с обратной связью:
R(s) — Задающее воздействие (входной сигнал) Y(s) — Выходной сигнал E(s) — Ошибка (E(s) = R(s) — Y(s)) G(s) — Передаточная функция прямой цепи (от ошибки до выхода) H(s) — Передаточная функция обратной связи (от выхода до сигнала обратной связи)
Выходной сигнал выражается как: Y(s) = G(s) * E(s) Ошибка выражается как: E(s) = R(s) — Y(s) Подставим выражение для Y(s) из уравнения 1 в уравнение 2: E(s) = R(s) — G(s) * E(s) Перегруппируем уравнение, чтобы выразить E(s): E(s) + G(s) * E(s) = R(s) E(s) * (1 + G(s)) = R(s) Разделим обе части уравнения на R(s) и (1 + G(s)), чтобы получить передаточную функцию по ошибке:
G_e(s) = E(s) / R(s) = 1 / (1 + G(s))
Если есть обратная связь H(s), то формула будет:
G_e(s) = E(s) / R(s) = 1 / (1 + G(s) * H(s))
Значение передаточной функции по ошибке:
Анализ устойчивости: Передаточная функция по ошибке может использоваться для анализа устойчивости системы с обратной связью. Оценка точности: Она позволяет оценить, насколько точно выходной сигнал следует за задающим воздействием. Чем меньше значение |G_e(s)|, тем меньше ошибка в системе. Определение статической ошибки: Значение передаточной функции по ошибке при s = 0 (т. е., G_e(0)) позволяет определить статическую ошибку системы, то есть ошибку, которая остается в установившемся режиме при постоянном входном сигнале. Например, для системы типа 0 (без интеграторов) статическая ошибка для ступенчатого воздействия пропорциональна 1 / (1 + K_p), где K_p — коэффициент усиления прямой цепи.
Практическое применение:
При проектировании систем управления необходимо минимизировать передаточную функцию по ошибке в интересующем диапазоне частот, чтобы обеспечить высокую точность отслеживания задающего воздействия. Передаточная функция по ошибке позволяет определить, какие параметры системы (например, коэффициенты усиления регулятора) необходимо изменить для уменьшения ошибки. Она используется для анализа влияния различных возмущений и помех на точность работы системы.
Пример:
Предположим, у нас есть система с обратной связью, где передаточная функция прямой цепи G(s) = 10 / (s + 2). Тогда передаточная функция по ошибке будет:
G_e(s) = 1 / (1 + G(s)) = 1 / (1 + 10 / (s + 2)) = (s + 2) / (s + 12)
Анализируя эту передаточную функцию, можно сделать выводы о точности и устойчивости системы. Например, статическая ошибка для ступенчатого воздействия (при s=0) будет равна G_e(0) = 2/12 = 1/6.
Таким образом, передаточная функция по ошибке — это мощный инструмент для анализа и проектирования систем управления, позволяющий оценить точность и устойчивость системы, а также определить, какие параметры необходимо изменить для улучшения ее характеристик.
