Тут написано о факториале ноля, ноль в нулевой степени и вообще, что это за зверь по кличке ноль.
Здравствуйте уважаемые читатели! С вами опять я, бывший аспирант ВНИВИПа и в прошлом его младший научный сотрудник.
Всем привет, давно не публиковался и вот решил... Сразу приношу свои извинения за выбор названия. Да тут не без плагиата, название (а точнее идею) я похитил из довольно известной, в свое время, книги Генриха Бурмина "Штурм абсолютного ноля", убеждён Генрих мне это простит. Речь в этой статье пойдёт о ноле. Про ноль и его смысл, можно говорить очень долго, к единому выводу о его значении в математике и материальном мире, редко кому удается договориться. Но он позволяет производить довольно большое количество операций, добавляет логичности и упрощает математические записи. Начнём рассуждения о его смысле, с разбора следующего понятия.
Абстракция
Само слово абстракция происходит от латинского abstractio - отвлечение. У термина крайне много определений (можно набрать в интернете, там их полно), но вот то которое мне наиболее понятно и кажется простым:
Абстракция — форма познания, основанная на мысленном
выделении существенных свойств и связей предмета. При этом не
учитываются несущественные стороны и признаки, что позволяет упрощать
изучаемое явление и рассматривать его в «чистом виде».
Математика, в любом её понимание, чистой воды абстракция. Эта истина ко мне пришла только в аспирантуре, при изучении философии античности. Преподаватель, предложил каждому представить себе тройку, а после рассказать, кто, что себе представил. Мне представилось три карандаша, кому-то сам символ 3, кто-то представил три кошки и так далее. Вот тогда и пришло понимание, что понятие три как таковое в природе не существует, это люди выдумали, что данное количество будет называться три. Когда мы спотыкаемся о ступеньку в подъезде, прежде всего посылается в путешествие сама ступенька, а только после думается какая она по счёту. Так с каждой цифрой, они не материальны, это просто условное обозначение количества предметов, свойства или чего-то иного, что человек желает посчитать.
Но если с цифрами всё более или менее понятно, то вот с абстракцией ноля всё гораздо интересней.
Ноль, как абстракция
Представьте себе ситуацию, вы заходите в комнату где стоит стол. На столе нет даже пыли, нет ни каких предметов, стол пуст. Вас просят сказать сколько на столе находиться карандашей.
Обычный человек скажет: "На столе нет карандашей."
Но математик, философ или просто задумчивый человек зануда ответит: "На столе ноль карандашей."
Если вы человек задумчивый и ответили соответственно, то ваш ответ покажется людям странным, но обсолютно понятным. Из этого можно сделать вывод, что ноль означает отсутствие чего то, в глобальном смысле абсолютную пустоту. Именно это свойство ноля (обозначение пустоты) не нравилось древним грекам, а после приемникам их философии римлянам. Дело в том, что согласно философским учениям античности, природа не терпит пустоты, а потому её не бывает. В римских цифрах ноля нету, цифра десять существует, а ноля нет. Философия других народов, была более лояльна и так он появился в Вавилоне, Индии, на просторах арабского мира.
Вроде становиться понятным, что эта цифра обозначает отсутствие чего либо. Если сила тока равна ноль ампер, то электричество в сети отсутствует, 0 км/ч означает, что тело находиться в покое и так далее. А вот теперь представим ситуацию когда на улице 0℃.
Подобное значение температуры, означает не её отсутствие, а вполне конкретную характеристику, при данной температуре вода начинает кристаллизоваться. И все наши рассуждения вроде иду под откос, но нет.
Ноль, как начало
И снова не без умозрительного. Поговорим о измерениях. Действие это связано с наличием маркеров, причём их должно быть как минимум два. Один из них будет начальной точкой, а другой конечной.
Представим себе ситуацию когда от доски необходимо отрезать кусок, в 20 сантиметров. Мы прикладываем линейку к началу доски и ставим отметку карандашом, на против соответствующей цифры. Вот эта отметка и будет для нас конечным маркером. Первым, нулевым маркером, будет сам край доски. При этом ноль будет на границе её начала и отсутствия. Да в этом случае он несёт в себе информацию о точке, где материя начинается и соответственно граничит с пустотой.
В случае если нам необходимо отрезать такой же кусок, но в центре доски, мы перенесем линейку в нужное место и опять отметим два маркера. Причём в этом случае, ноль уже будет неси информацию не о границе материи и не материального, а служить точкой отсчёта для правильного измерения необходимого куска. Здесь функция ноля меняется. В данном случае, он разделяет для нас доску на полезную часть (где мы разметили необходимый отрезок) обозначим эту полезность знаком "+" и отрицательную её часть "-" лежащею перед нулевым маркером.
Шкала температуры согласно Цельсию, это второй случай. Он выбрал точку которую наиболее удобно использовать в повседневности, для понимая того какое время года на улице.
Шкала температуры Кельвина это первый пример измерений. Там за ноль выбран момент когда полностью прекращается тепловое движение молекул. Ноль Кельвина начинается на границе наличия и отсутствия температуры.
Ноль, как информация
Вернемся к информативности цифр. Каждая цифра, как мы выяснили, несет информацию,причём эта информация обсолютно однотипна. Тройка всегда в свой смысл вкладывает лишь количество три, цифра 10 количество десять и так далее. Меняется только предмет или свойство, которое мы хотим посчитать. Сама цифра несёт в себе только совершенно определённое количественное значение.
В случае с нолём, ситуация гораздо более многообразная. Опираясь на выше изложенное, получаем следующие:
- Обозначение отсутствия чего либо
- Граница между наличием отсутствием материи или свойства
- Обозначение места начала отсчёта, а так же разделение его на правую (+) и левую (-) стороны
Я намерено не написал, уже привычного свойства всех чисел, обозначение количества. Поскольку мы уже вроде определились, что он не несёт в себе подобной информации. Информация отсутствия, на мой взгляд сложно определить как количество чего то. Но всё же это цифра, поэтому следующие интересности связаны с вычислениями.
Ноль и вычисления
Ноль, участвует в математических расчётах. Участие его различно, к примеру обозначение нового порядка (10, 20, 100, 1000 и тд.), тут обсолютно всё ясно и привычно. Но бываю случаи когда он выступает как самостоятельное число, вот тут всё становиться значительно интересней.
Мне не хочется рассматривать такие примеры как деление и умножение на ноль, хочется сразу перейти к более интересным вещам, такие как: N⁰, 0⁰, 0!.
Начнем с простенького: N⁰=1. Если рассуждать с позиции, что ноль обозначает отсутствия всего, то это утверждение выглядит крайне странно. Взять что-то и повторить его не сколько раз, да еще при этом получить единицу.
Но вот доказательство этого суждения, которое выглядит вполне логично:
Запишем следующие выражение и решим его согласно свойствам степеней: Nʸ÷Nʸ = N⁽ʸ-ʸ⁾ = N⁰; а поскольку очевидно, что Nʸ÷Nʸ = 1, то верно и следующие утверждение: Nʸ÷Nʸ = N⁰ =1. Это доказательство, очевидно может работать только в одном случае, если N≠0. В противном случае, наступает ситуация когда мы применяем деление на ноль. Это приводит нас к тому, что подобным образом, невозможно доказать следующие равенство: 0⁰=1.
Перейдём к доказательству 0⁰=1. Существует несколько доказательств подобного равенства. Я приведу наиболее мне понятное. Начнём с умозрительного понимания того, что в данном случае мы действительно пытаемся отсутствие всего, возвести в степень абсолютной пустоты. В качестве подтверждения этого тезиса, я попросил свою Ubuntu произвести это вычисление. Вот, что мне выдал комп.
Андройд был более благосклонен.
Перефразировав Бориса Слуцкого сформулируем вопрос.
Как же быть и что же делать если,
Ноль в нулевою степень надо возвести?
Начнём с того, что если логика нам не позволяет провести напрямую подобную операцию, то постараемся найти её аналоги.
В это случае аналогом может послужить приближение к нолю. Возьмём следующею функцию f(x) = xˣ, где x → 0. Да, именно стремиться к нулю, но его не достигает.
Для начала определимся с какого момента мы будем строить график. Так как понято, что с уменьшение значения Х функция будет стремиться к началу координат, то и начнём её строить с единицы. Для этого понадобиться следующая таблица:
Х f(x) = xˣ
1 1
0,9 0,909
0,8 0,836
0,7 0,779
... ...
0,1 0,794
0.01 0,955
0,001 0,993
0,0001 0,999
Вот график, которой мы получим, если переложим значения на оси координат
Очевидно, что продолжая дробить целое не доходя до нуля, мы очень сильно приблизимся к значению 1. Поэтому можем предположить, что 0⁰=1.
Да, до ноля мы не дойдём, но и не переступим формально, ту черту, где возводим пустоту в степень пустоты. Да безусловно, это не приводит к строгому пониманию, выражение 0⁰=1
Теперь не менее странное, факториал нуля 0!=1. Сначала разберёмся, что есть факториал. Факториал числа — это произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа, включая само число. Получается странный парадокс, 1! = 1, 0! = 1. Это по меньшей мере странно. Вменяемое доказательство этого утверждения, я нашел только в теории множеств.
Рассмотрим как это работает на примере факториала тех. 3! = 1∗2∗3 = 6
В теории множеств, доказательство этого утверждения, будет выглядеть следующим образом.
Существует шесть перестановок множества {1, 2, 3}, состоящего из трёх элементов, поскольку мы можем записать эти элементы следующими шестью способами:
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
Получается, сколько мы сможем сделать вариантов перестановок, этому количеству и будет равен искомый факториал. Так если мы возьмём множество с двумя элементами (в нашем случае множители), то сможем сделать только две перестановки. Получается 2! = 2. Если взять множество с одним элементом, оно имеет только одну перестановку, соответственно 1! = 1. А вот нулевой факториал, получается множество с нулевым количеством элементов. В теории такая ситуация определяется, как пустое множество, но всё же множество. Даже записывается следующим образом ∅={ }. Так вот, сколько раз его можно упорядочить? На ум приходит, что только один раз, значит и справедливо утверждение 0!=1.
К чему все эти сложности?
Вопрос вполне закономерен.
Давайте вспомним пример с температурой, да тот случай со шкалой Цельсия. В этом конкретном случае, ноль описывает физические свойства воды, начало кристаллизации. Периодически с таким нолём приходиться проводить математические операции и тогда возникает необходимость именно таких обоснований. В большинстве случаев, как пример 0!, физики и математики, просто приняли решение, что это будет равняться единице и точка. Это было вызвано необходимостью, корректного описания физических свойств.
Надеюсь статья вам была интересна. Жду комментариев от несогласных, или тех, кто считает, что я написал полную ересь. Если вдруг понравилось ставьте лайк, буду благодарен.