В математике существует правило настолько простое, что оно кажется очевидным. Однако если следовать ему до конца, возникают невероятные парадоксы: некоторые отрезки теряют длину, а из одной сферы можно получить две такие же, ничего не добавляя. Этим правилом — аксиомой выбора — математики пользуются уже более века. Она понятна и работоспособна, но порождает абсурдные парадоксы.
Проблема выбора
Всё начинается с простой задачи: попробуйте загадать случайное число. Назвать нетрудно — скажем, 37 или 42. Этот выбор мы делаем сами, не прибегая к вычислениям. Да и никакими расчётами случайное число не получить — какую бы формулу вы не придумали, цифровые генераторы случайных чисел создают лишь иллюзию случайности, используя время на компьютере для получения псевдослучайного значения.
Когда всё-таки нужно выбрать число, можно сформулировать чёткое правило. Например, всегда выбирать наименьший элемент множества. Для всех натуральных чисел это будет единица, для простых — двойка. Ничего сложного.
А вот с вещественными числами, к которым относятся положительные, отрицательные, целые, дробные и даже иррациональные числа вроде числа π или √2, всё сложнее. Попробуйте найти среди них наименьшее — это невозможно. Они уходят в минус бесконечность. Даже если уточнить правила и выбирать наименьшее число после единицы, проблема остаётся. К единице можно прибавить сотую, десятитысячную, стамиллиардную и так до бесконечности. Какое число идёт сразу после единицы?
Парадокс в том, что вариантов бесконечно много, но решить, по какому принципу выбирать, не получается.
Георг Кантор и революция в понимании бесконечности
В 1870 году немецкий математик Георг Кантор бросил вызов хаосу вещественных чисел. Он решил упорядочить их во что бы то ни стало, и это едва не стоило ему жизни.
В 29 лет Кантор опубликовал одну из своих первых работ и оказался в центре скандала. Веками понимание бесконечности строилось на трудах Галилея. В 1638 году Галилей поставил важный вопрос: чего больше — натуральных чисел или их квадратов?
На числовой прямой квадратные числа встречаются реже, и чем дальше, тем больше расстояние между ними. Создаётся впечатление, что квадратов меньше натуральных чисел. Но Галилей понял: раз любое натуральное число можно возвести в квадрат, каждый элемент первого множества можно сопоставить с каждым элементом второго. Из этого следует, что они одинаковы по размеру.
Этот неожиданный вывод привёл Галилея к мысли, что понятия «больше» и «меньше» не применимы к бесконечности. Бесконечность понималась как общая концепция безграничной вечности, и такой взгляд господствовал веками.
Открытие разных размеров бесконечности
Прошло 200 лет, и за дело взялся Кантор. В 1874 году он задумался: существуют ли два бесконечных множества, элементы которых нельзя сопоставить друг с другом? Могут ли бесконечности быть разными?
Чтобы проверить свою мысль, Кантор решил сравнить все натуральные числа с вещественными от нуля до единицы. Он начал с предположения, что между этими множествами можно установить точное соответствие. Кантор представил бесконечный список, где с одной стороны натуральное число, а с другой — вещественное от нуля до единицы.
Поскольку наименьшего вещественного числа не существует, их можно записывать в произвольном порядке. Так получается полный бесконечный список. Но к нему всегда можно добавить новое вещественное число.
Чтобы его получить, надо прибавить единицу к первой цифре первого числа, потом прибавить единицу ко второй цифре второго числа и так далее до конца списка. Исключение составляют восьмёрки и девятки — из них единица вычитается, чтобы избежать возможных повторов.
В результате этих манипуляций получается вещественное число между нулём и единицей, которого в исходном списке ещё нет. Оно отличается от первого числа первым знаком после запятой, от второго — вторым и так далее по порядку. Оно отличается от каждого числа в списке хотя бы одной цифрой — той, что лежит на диагонали. Поэтому этот приём называют диагональным методом Кантора.
Он показывает, что между нулём и единицей вещественных чисел больше, чем натуральных, хотя и тех, и других — бесконечность.
Счётные и несчётные бесконечности
Кантор открыл нечто поразительное: бесконечности бывают разных размеров. Некоторые из них — например, множество квадратов целых или рациональных чисел — можно идеально сопоставить с натуральными числами. То есть их удастся посчитать: 1, 2, 3 и так далее. Такие множества Кантор назвал счётными бесконечностями.
Но существуют и большие бесконечности — несчётные. К ним относятся, например, все вещественные числа или комплексные числа. Их невозможно сопоставить с натуральными числами один к одному.
Результаты Кантора потрясли математическое сообщество. Разве может нечто, не имеющее конца, быть больше чего-то другого, столь же бесконечного? Его работу окрестили «кошмаром» и «опасной болезнью».
Попытка упорядочить несчётные множества
Но Кантор не сдавался. Успех вдохновил его на ещё более грандиозную цель: показать, что даже несчётные бесконечные множества можно упорядочить так, чтобы получить то, что он назвал «вполне упорядоченным множеством».
Чтобы множество считалось вполне упорядоченным, оно должно отвечать двум условиям. Во-первых, оно должно иметь чётко определённый первый элемент. Во-вторых, любое подмножество также должно иметь собственный первый элемент.
Например, натуральные числа полностью упорядочены. Первый элемент — единица, и любое подмножество также с чего-то начинается. А как быть с целыми числами? Они простираются в бесконечность как в положительную, так и в отрицательную сторону.
Кантор понял, что в качестве начальной точки можно выбрать ноль и упорядочить числа следующим образом: 0, 1, -1, 2, -2... Так можно ранжировать целые числа по их модулю — расстоянию от нуля. Неважно, какой знак ставить первым, главное — выбрать принцип и не нарушать его.
Кантору удалось упорядочить множество, бесконечное в двух направлениях, но пока только счётно бесконечное. В следующей книге он опубликовал ещё более дерзкую теорему, в которой заявил, что даже несчётное бесконечное множество можно упорядочить.
Проблема заключалась в том, что он этого так и не доказал.
Критика и нервные срывы
Все попытки Кантора оказались неудачными, но он не утратил уверенности в своей правоте. Будучи глубоко верующим лютеранином, он считал, что через него говорит сам Бог:
«Моя теория тверда как скала. Любая стрела, выпущенная против неё, вернётся к стрелку. Откуда я это знаю? Потому что я посвятил этой теории много лет и проследил её корни до первой непогрешимой причины всего сущего».
Однако вера — не доказательство. Утверждение о том, что можно упорядочить любое множество, без математического обоснования вызвало новую волну критики. Главным критиком стал Леопольд Кроникер, глава математического факультета Берлинского университета. Он яростно отвергал все труды Кантора, клеймил его шарлатаном и совратителем молодых умов.
Ирония в том, что когда-то Кроникер был учителем Кантора. Кантор мечтал работать с ним в Берлине, но все его заявки почему-то отклонялись, что он принимал очень близко к сердцу. В 1884 году Кантор написал 52 письма другу, и в каждом сквозила обида на Кроникера.
Вскоре у него случился первый из череды нервных срывов, и его поместили в санаторий для восстановления.
Триумф и новое унижение
После лечения Кантор отошёл от математики. Униженный и сломленный, 15 лет он преподавал философию, лишь изредка возвращаясь к прежним исследованиям.
Самый тяжёлый удар ждал его в 1904 году на международном конгрессе математиков. Юлиус Кёниг, уважаемый профессор из Будапешта, заявил, что доказал ошибочность теоремы Кантора. На конгрессе присутствовали не только сам математик, но и его жена, две дочери и коллеги. Унижение было невыносимым.
Однако среди слушателей был ещё один человек — Эрнст Цермело, немецкий математик, недавно заинтересовавшийся работами Кантора. Он чувствовал, что в докладе Кёнига что-то неладно. Всего за 24 часа он обнаружил проблему: в аргументах содержалось непримиримое противоречие.
Рождение аксиомы выбора
Уже через месяц Цермело опубликовал трёхстраничную статью под названием «Доказательство того, что любое множество можно вполне упорядочить». И оно было безупречным.
Цермело в своих изысканиях сумел разглядеть скрытый фундаментальный принцип, который Кантор использовал повсюду интуитивно и бессознательно, но нигде явно не сформулировал. Всё это время Кантор просто принимал, что можно выбирать сколько угодно элементов из любых множеств, включая несчётно бесконечные. Но это было лишь допущение, нигде формально не закреплённое в математике.
Математика строится на правилах — аксиомах, простых утверждениях, которые принимаются как истины без доказательств. Цермело понял: то, что Кантор принимал как должное, нужно было оформить как чёткое правило — новую аксиому, допускающую возможность делать выбор.
Так появилась аксиома выбора.
Формулировка аксиомы выбора
Аксиому выбора можно сформулировать так: если у вас есть бесконечное количество множеств и они не пустые, то из них можно выбирать отдельные элементы.
С конечными множествами проблем нет — можно перебрать все элементы и выбрать какой-нибудь. Если множества бесконечные, так уже не получится, и нужно чёткое правило — например, всегда брать наименьший элемент. Но иногда и его не придумать.
В таких случаях, когда есть бесконечно много множеств, включая несчётные, нужна аксиома выбора. Аксиома гласит, что выбор из любых множеств возможен, пусть мы и не знаем, по какому принципу. Сказать, что именно было выбрано, тоже не получится — ведь множеств бесконечно много. Главное — выбор в принципе возможен.
Упорядочивание вещественных чисел с помощью аксиомы выбора
Как же новая аксиома помогает упорядочить вещественные числа? Цермело предложил следующее:
Берём любое одно число из множества всех вещественных, называем его x₁ и помещаем в новое множество R. Остаётся подмножество всех вещественных чисел без R, из которого мы выбираем следующее число x₂. Оно становится вторым элементом множества R. По этому же принципу добавляем все следующие элементы: x₃, x₄, x₅...
Хоть выглядит всё так, будто числа берутся по одному, на самом деле выбор происходит из всех возможных подмножеств одновременно. Нумеровать выбранные элементы можно натуральными числами, но здесь возникает проблема: натуральных чисел — счётное количество, а вещественных — несчётное, так что таких номеров просто не хватит.
Однако можно продолжить считать после бесконечности. Надо ввести новый класс чисел, которые идут после натуральных. Назовём первое такое число ω (омега). За ним пойдёт ω+1, ω+2 и так далее. Эти ω-числа не больше бесконечности — они просто идут после неё. Они не указывают на количество элементов, но задают их порядок.
Таким образом, следующие выбранные числа получают номера xω, xω+1, xω+2 и так далее. Процесс продолжается, пока все числа не закончатся — то есть пока исходное множество не станет пустым.
В результате получаем вполне упорядоченное множество, где существует первый элемент x₁, и каждое подмножество также имеет первый элемент. Мы успешно упорядочили вещественные числа. Да, это не тот порядок, к которому мы привыкли — миллиарды и десятые доли стоят вперемешку, но так или иначе, мы доказали: упорядочить вещественные числа возможно.
Универсальность решения
Более того, теперь у нас есть решение изначальной проблемы математического выбора. Мы не можем указать наименьшее вещественное число, но теперь можем определить первое — нашу отправную точку. И этот метод работает для любого множества, что означает: все множества, независимо от их размера, можно вполне упорядочить.
Оказалось, что теорема Кантора об упорядочивании и аксиома выбора Цермело — это по сути одно и то же. Для Кантора это стало огромным облегчением. Цермело не только доказал теорему, но и вполне упорядочил вещественные числа — и всё за какой-то месяц.
Он совершил прорыв, формализовав то, чем математики пользовались неосознанно. Цермело показал, что математика — наука не столько о числах, сколько о логике, которая за ними стоит.
Неосознанное использование аксиомы
Формально аксиома выбора была новым словом в математике, хотя на практике использовалась уже давно. Цермело проанализировал труды своих коллег и обнаружил, что даже ярые критики теории Кантора неосознанно опирались на эту аксиому в своих работах. Это показывает, насколько неочевидно, что такая аксиома вообще нужна. Люди пользовались ею множество лет, сами того не зная.
Казалось бы, всё просто. Но доказательство Цермело выглядело слишком абстрактным. Оно ничего не упорядочивало, лишь утверждало, что это возможно. На каком основании? И как бы это проверить? А ещё в доказательстве было бесконечное число шагов — это вообще законно?
Некоторые математики считали, что доказательства должны быть конечными. Другие принимали только счётную бесконечность. Но всё это были лишь цветочки.
Парадокс Витали: множество без длины
Когда учёные стали экспериментировать с аксиомой выбора, открылся математический ящик Пандоры. Первый парадокс возник в 1905 году, когда Джузеппе Витали, опираясь на аксиому выбора, построил особое множество чисел, которое перевернуло представление о длине.
Витали взял все вещественные числа от нуля до единицы и разложил их по бесконечному количеству групп — назовём их корзинами. Нужно было, чтобы каждое число оказалось только в одной корзине.
Принцип был таков: если у нас есть два числа x и y, и их разность x-y равна рациональному числу (результату деления целого на натуральное), тогда и x, и y вместе окажутся в одной корзине. Если разность нерациональна (то есть иррациональна), их кладут в разные корзины.
Например, вычтем из 3/4 число 1/2 — получится 1/4, рациональное число. Значит, кладём 3/4 и 1/2 в одну корзину. В этой же корзине окажутся все рациональные числа от нуля до единицы.
С иррациональными сложнее. Например, √2/2 - 1/4 = некое рациональное число, пусть даже сами числа иррациональны, так что они окажутся в одной корзине. А вот √2/2 и √2/3 дадут иррациональный результат, следовательно, они окажутся в разных корзинах.
Таким образом можно распределить все вещественные числа по группам, не повторяясь. Затем Витали применил аксиому выбора и из каждой группы отобрал по представителю. Поскольку мы вооружились аксиомой выбора, неважно, какое именно число мы возьмём — важно лишь, что оно будет.
Все представители из каждой группы вместе образуют множество Витали. Его можно изобразить как набор точек между нулём и единицей.
Теперь создадим бесконечное количество копий этого множества, но каждый раз будем смещать все его элементы на рациональное число от -1 до +1. Все точки множества будут каждый раз сдвигаться на какое-то новое рациональное значение, и таким образом все числа, которые оказались во множестве Витали, в конечном итоге побывают на тех местах, куда попали бы все остальные числа из их группы.
Если мысленно сложить все эти бесконечные множества, между их элементами не будет пересечений, при этом мы получим все вещественные числа на промежутке от нуля до единицы.
Возникает вопрос: какая длина у множества Витали? Мы знаем, что для объединения всех его копий она равна как минимум одному — ведь оно содержит все числа от нуля до одного. С другой стороны, все его точки попадают в промежуток от -1 до +2, значит, длина не может быть больше трёх.
Так какой длины должно быть множество Витали, чтобы после бесконечного сложения с самим собой общая длина была от одного до трёх? И есть ли вообще такое число?
Если длина множества равна нулю, то бесконечное сложение нулей даст ноль. Если длина даже немного больше нуля, то бесконечное сложение приведёт к бесконечности, а не к трём. Получается противоречие.
Единственный выход — признать, что само множество Витали неизмеримо. У неизмеримых множеств, подобных этому, нет определённого размера, длины, площади и даже вероятности. Внезапно вся математика, основанная на принципе измеримости любых величин — будь то расстояние, время или вес — столкнулась с неизмеримым.
Парадокс Банаха-Тарского: удвоение шара
Казалось, что виной всему аксиома выбора, но это было только начало вызванных ею проблем. В 1924 году математики Стефан Банах и Альфред Тарский, опираясь на аксиому выбора, сотворили настоящий парадокс. Они доказали, что можно взять один сплошной шар, разбить его на пять частей, а затем, определённым образом поворачивая и перемещая эти части, собрать из них две точных копии исходного шара.
Этот процесс можно продолжать бесконечно и получить из одного шара сколько угодно его точных копий.
Представьте, что вы можете двигаться в четырёх направлениях: вверх, вниз, влево и вправо. Сделав шаг, например, влево, вы получаете те же четыре варианта, но если пойдёте вправо, вернётесь туда, откуда начали. Единственное правило: возвращаться назад сразу же нельзя.
Продолжая двигаться так шаг за шагом и рисуя каждый новый отрезок вдвое короче предыдущего, получим фрактальную структуру с бесконечным ветвлением. Анализируя её структуру, можно выделить пять секций: центр, с которого мы начинали, и ещё четыре части, идентичные друг другу, но повёрнутые.
Если взять левую секцию и сдвинуть всё на один шаг вправо, получится практически тот же рисунок. Не хватает только правой секции — давайте вернём её на место. Можно сделать то же самое по-другому: взять нижнюю секцию и сдвинуть её на один шаг вверх. Опять не хватает одной секции — добавим её.
Получается, мы можем воссоздать исходную картину двумя совершенно разными способами. Мы взяли один рисунок, разделили его на секции, сдвинули левую вправо и нижнюю вверх — и в итоге получили две копии.
Банах и Тарский провернули тот же трюк, только с шаром. Как и в нашем примере, у шара есть четыре направления вращения: вверх, вниз, влево и вправо. Правило то же: поворачивать назад сразу нельзя. Чтобы никогда не возвращаться в одну и ту же точку, каждое вращение выполняется на одинаковую иррациональную долю окружности.
Выбираем произвольную начальную точку, отмечаем её и начинаем вращать шар. Каждую точку окрашиваем в свой цвет в зависимости от направления вращения, после которого мы туда попали. Если повторить это бесконечное число раз, получится множество точек.
Это счётное бесконечное множество, потому что мы можем пронумеровать каждое вращение натуральным числом. Но количество точек на поверхности шара — это несчётное множество, как и множество вещественных чисел. Чтобы покрыть всю поверхность, нам нужно повторить этот процесс уже от других начальных точек.
Но с какой начать? Их несчётно много, мы не можем перечислить их все, и что важно — нам нельзя допустить повторного окрашивания уже отмеченных точек.
Решение — использовать аксиому выбора. Благодаря ей мы можем выбрать уникальные начальные точки, даже не зная, какие именно точки это будут.
Когда все точки шара окрашены, мы можем разбить их на пять групп: одна для начальных точек и ещё четыре по направлению последнего вращения, которое нас туда привело. Теперь с этими группами можно обращаться так же, как с секциями нашего рисунка.
Мы можем взять группу точек, где последнее вращение было влево, и повернуть её вправо. Затем добавляем группу, которая заканчивается вращением вправо — и мы воссоздали исходный шар. Можно сделать это снова, добавив ещё одно движение, чтобы учесть начальные точки. Теперь возьмём группу с последним вращением вниз и повернём её вверх. Добавим к ней точки с последним вращением вверх и группу начальных точек — и вот мы воссоздали наш исходный шар во второй раз.
Из одного шара мы создали две его идентичные копии с тем же объёмом. И ничто не мешает нам повторить это ещё раз: из двух шаров получится четыре, из четырёх — восемь, и так до бесконечности.
Аксиома выбора — нечто совершенно очевидное и простое, но её последствия настолько абсурдны, что начинаешь думать: что вообще происходит? Бесконечное дублирование теоретически возможно, но загвоздка в том, что группы, на которые мы разделяем шар, как и множество Витали, неизмеримы. Хотя исходный шар и его копии имеют определённый объём, промежуточные этапы преобразования противоречат нашим представлениям о размере. Отсюда и возникает парадокс.
Конечно, провести такие манипуляции в реальности нельзя, но возникает почти метафизический вопрос: а если бы было можно, мы бы получили бесконечно много шаров?
Кризис в математике
В том же году Тарский попытался развить аксиому выбора, доказав её эквивалентность утверждению, что возведение бесконечного множества в квадрат не увеличивает его размер. Когда он отправил свою работу в парижский журнал, редактор Лебег пренебрежительно ответил: «Никому не интересен вопрос эквивалентности двух ложных утверждений».
Не желая сдаваться, Тарский обратился к другому редактору того же журнала — Фреше, который заявил: «Никому не интересен вопрос эквивалентности двух очевидно истинных утверждений». Больше Тарский в этот журнал не обращался.
Математика погрузилась в кризис больше чем на 30 лет. Учёные не знали, чему верить.
Разрешение кризиса
Первые ответы появились в 1938 году. Австрийский математик Курт Гёдель доказал, что возможен мир, где все принятые аксиомы теории множеств истинны, в том числе аксиома выбора. Затем в 1963 году Пол Коэн показал, что возможен и другой мир, где истинны все аксиомы теории множеств, кроме аксиомы выбора.
Эта ситуация напоминает пятый постулат в геометрии. Можно представить геометрию как игру. Первые четыре постулата — базовые правила, описывающие механику, а пятый определяет вселенную, в которой вы хотите играть.
Если через точку, не лежащую на какой-то прямой, нельзя провести прямую, параллельную первой, — вы в сферической геометрии. Если можно, но только одну, — то в плоской. А если больше одной — в гиперболической. Неправильных вариантов нет. Всё зависит от того, какую задачу надо решить.
С аксиомой выбора то же самое. Её нельзя ни доказать, ни опровергнуть, опираясь на другие аксиомы. Поэтому если остальные аксиомы верны, добавление выбора не приводит к противоречию.
За это фундаментальное открытие и другие достижения в теории множеств Пол Коэн был удостоен Филдсовской медали.
Современное состояние
После работ Гёделя и Коэна дискуссии об аксиоме выбора поутихли. В итоге оказалось, что выбор остаётся за вами: включать аксиому выбора в свою систему или нет. Правда, вам же придётся нести ответственность за последствия этого решения.
Несмотря на кажущиеся парадоксальными результаты, которые порождает эта аксиома — например, неизмеримые множества и бесконечное дублирование — она невероятно полезна. Она позволяет математикам заменить громоздкие и длинные доказательства более короткими и ёмкими аргументами.
Если есть доказательства для конечного случая, зачастую его можно распространить на бесконечный вариант всего одной строкой. Это позволяет сократить многостраничные расчёты до пары абзацев.
Аксиома выбора не просто упрощает математику — для некоторых доказательств она необходима. Существуют теоремы, которые нельзя доказать в общем случае без использования этой аксиомы.
Конечно, некоторые математики всё ещё предпочитают её избегать, даже если это сложнее. Каждый шаг приходится чётко расписывать, чтобы применить результат к бесконечным случаям, и расчёты получаются строже. Некоторые учёные изучают модели вселенных без аксиомы выбора, чтобы лучше понять, на что она влияет.
Но сегодня аксиома принимается практически повсеместно. За последние 80 с лишним лет выросли поколения математиков, для которых она просто данность, и многие даже не замечают, как используют её в своих рассуждениях. Не опираться на аксиому выбора — это всё равно что работать со связанными руками. Без неё в математике сейчас очень сложно добиться прогресса.
Заключение
Так что вопрос не в том, верна ли аксиома выбора, а в том, подходит ли она для решения тех задач, которые перед вами стоят. История этой аксиомы показывает, что математика — это не просто набор абсолютных истин, а гибкая система, которая развивается в зависимости от потребностей человечества. Иногда принятие кажущихся парадоксальными идей открывает новые горизонты понимания, даже если это сопровождается временными кризисами и сомнениями.
Георг Кантор, несмотря на все страдания и критику, в конечном итоге революционизировал математику. Его интуитивные прозрения, формализованные Цермело в виде аксиомы выбора, стали фундаментом современной математической мысли. И хотя эта аксиома до сих пор порождает головокружительные парадоксы, она остаётся одним из самых мощных инструментов в арсенале математиков.