Есть два Рима.
Рим Старый (сохранился) и Рим Новый (не сохранился, но стал другим. Стал Стамбулом).
Старый Рим, это и город, и одновременно Древняя Римская Республика и Древняя Римская Империя.
Новый Рим, это и город и империя.
Оба Рима, старый и новый, относятся к понятию Древний Рим.
Не было никогда никакой Византийской ни империи, ни истории.
Термин условный.
Придуман в 17 веке.
Столица Нового Рима, а потом Восточно Римской империи, это Новый Рим, в простонародье того самого Рима, а потом и вообще по всему миру известен как Константинополь.
Ныне Стамбул.
Но это уже другая история.
Но есть историческое извлечение из достоверного хода вещей.
Латинская Империя, со столицей в Новом Риме, Константинополе, которая есть порождение крестовых походов на Иерусалим.
До Иерусалима не дошли, но Империю погубили.
И свою, и чужую.
Ту, которую разграбили.