Давайте разберемся, как исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения. Суть метода в том, чтобы сравнить исследуемый ряд с другим рядом, сходимость или расходимость которого известна.
Основные теоремы (признаки) сравнения:
Пусть даны два ряда с положительными членами:
Ряд 1: ∑ an (исследуемый ряд) Ряд 2: ∑ bn (ряд для сравнения)
1. Признак сравнения в предельной форме:
Если существует конечный и отличный от нуля предел: lim (n→∞) (an / bn) = L, где 0 < L < ∞ Тогда ряды ∑ an и ∑ bn сходятся или расходятся одновременно.
2. Признак сравнения в прямой форме:
Сходимость: Если an ≤ bn для всех достаточно больших n, и ряд ∑ bn сходится, то и ряд ∑ an сходится. (Если “больший” ряд сходится, то и “меньший” ряд сходится.) Расходимость: Если an ≥ bn для всех достаточно больших n, и ряд ∑ bn расходится, то и ряд ∑ an расходится. (Если “меньший” ряд расходится, то и “больший” ряд расходится.)
Алгоритм применения признака сравнения:
Определите характер поведения членов ряда aN при больших n. Это поможет вам выбрать подходящий ряд для сравнения. Посмотрите на главные члены в числителе и знаменателе. Подберите ряд для сравнения ∑ bN, с известной сходимостью или расходимостью. Обычно используют:
Обобщенный гармонический ряд: ∑ 1/np
Сходится при p > 1 Расходится при p ≤ 1 (особенно важен гармонический ряд ∑ 1/n)
Геометрический ряд: ∑ qn
Сходится при |q| < 1 Расходится при |q| ≥ 1
Примените признак сравнения:
Предельный признак: Найдите предел lim (n→∞) (an / bn). Если предел конечный и отличен от нуля, ряды ведут себя одинаково. Прямой признак: Найдите неравенство между an и bn. Убедитесь, что неравенство выполняется для всех достаточно больших n. Затем сделайте вывод о сходимости или расходимости ряда ∑ an.
Сделайте вывод: На основании сходимости или расходимости ряда ∑ bn и результата применения признака сравнения, сделайте вывод о сходимости или расходимости ряда ∑ an.
Примеры:
Пример 1: Исследовать сходимость ряда ∑ (1 / (n2 + 1))
Анализ: При больших n, n2 + 1 ≈ n2. Поэтому, члены ряда ведут себя примерно как 1/n2. Ряд для сравнения: ∑ (1 / n2) (обобщенный гармонический ряд с p = 2, сходится) Предельный признак:
Lim (n→∞) ((1 / (n2 + 1)) / (1 / n2)) = lim (n→∞) (n2 / (n2 + 1)) = lim (n→∞) (1 / (1 + 1/n2)) = 1
Предел равен 1 (конечное число, отличное от нуля).
Вывод: Так как ряд ∑ (1 / n2) сходится, то и ряд ∑ (1 / (n2 + 1)) Сходится.
Пример 2: Исследовать сходимость ряда ∑ (1 / (√n — 1))
Анализ: При больших n, √n — 1 ≈ √n. Поэтому, члены ряда ведут себя примерно как 1/√n. Ряд для сравнения: ∑ (1 / √n) = ∑ (1 / n1/2) (обобщенный гармонический ряд с p = 1/2, расходится) Прямой признак:
Для n > 1: √n — 1 < √n => 1/(√n — 1) > 1/√n
Таким образом, an > bn.
Вывод: Так как ряд ∑ (1 / √n) расходится, то и ряд ∑ (1 / (√n — 1)) Расходится.
Пример 3: Исследовать сходимость ряда ∑ (sin2(n) / n2)
Анализ: 0 ≤ sin2(n) ≤ 1 => 0 ≤ sin2(n) / n2 ≤ 1/n2 Ряд для сравнения: ∑ (1 / n2) (обобщенный гармонический ряд с p = 2, сходится) Прямой признак:
Sin2(n) / n2 ≤ 1/n2
Таким образом, an ≤ bn.
Вывод: Так как ряд ∑ (1 / n2) сходится, то и ряд ∑ (sin2(n) / n2) Сходится.
Важные моменты:
Положительные члены: Признаки сравнения работают только для рядов с положительными членами (или, по крайней мере, для рядов, члены которых положительны, начиная с некоторого номера n). Для рядов с членами произвольного знака используются другие признаки (например, признак Лейбница, признаки абсолютной и условной сходимости). Неравенство для больших n: Неравенство an ≤ bn или an ≥ bn не обязательно должно выполняться для всех n. Важно, чтобы оно выполнялось для всех достаточно больших n (то есть, начиная с некоторого номера N). Конечное число членов ряда не влияет на его сходимость или расходимость. Выбор ряда для сравнения: Правильный выбор ряда для сравнения – ключ к успеху. Иногда может потребоваться несколько попыток, чтобы подобрать подходящий ряд. Альтернативные признаки: Если признак сравнения не дает результата, можно попробовать использовать другие признаки сходимости (например, признак Даламбера, признак Коши).
Практика – лучший способ научиться эффективно использовать признаки сравнения. Попробуйте решать различные примеры, и со временем вы научитесь быстро определять подходящие ряды для сравнения и применять признаки с уверенностью.