Рассмотрим решение геометрической задачи, которая разобрана на канале Валерия Казакова. Задача дана под заголовком «Прямоугольный! Самая важная задача!». Итак, задача.
1. В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе проведена высота CH. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности радиусов 3 и 4. Найдите площадь треугольника ABC.
Итоговый кадр решения выглядит так:
Источник. Прямоугольный! Самая важная задача! | Наглядная Геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/67822521b48967553fb3acc7
Валерий Казаков показал очень интересное решение довольно сложной задачи, с привлечением многих фактов. А мы рассмотрим более простое решение этой задачи с использованием двух букв.
Решение. Углы 1 и 2, 3 и 4 попарно равны, как половины равных углов, поэтому прямоугольные треугольники, выделенные одним цветом, подобны по двум углам. Их стороны пропорциональны числам 3 и 4.
Обозначим AN = 3a, CL = 4a, NC = 3b, LB = 4b.
По теореме Пифагора найдём гипотенузу AB = 5a + 5b. Стороны треугольника ABC пропорциональны числам 3, 4, 5 с коэффициентом (a + b).
Гипотенуза AB равна 3a + 4b + 7, составим первое уравнение:
5a + 5b = 3a + 4b + 7,
2a + b = 7. (1)
Длины двух касательных к окружностям 3b и 4a, отложенные на высоте CH, отличаются на 1. Составим второе уравнение:
3b – 4a = 1. (2)
Решив систему двух линейных уравнений (1) и (2), получим её единственное решение: a = 2, b = 3, тогда a + b = 5.
Теперь найдём площадь треугольника ABC.
S = 3(a + b)*4(a + b)/2 = 15*10 = 150.
Ответ. 150.