В этой статье вы узнаете о всех вариациях задания 17 из ОГЭ по математике, которое связано с нахождением площадей фигур.
К сожалению, в открытом банке заданий ОГЭ нет возможности с помощью фильтров сделать подборку именно задания 17, поэтому я оставлю здесь это:
Дата последнего обновления: 21.05.2025
Если обнаружу ещё какую-нибудь вариацию - во-первых, обновлю дату, во-вторых, сообщу об этом в посте на своём канале, на котором я рассказываю о подготовке к ОГЭ.
А теперь приступим к непосредственному разбору заданий.
Площади треугольников: формулы
Для нахождения площади треугольника существует несколько формул.
Площадь произвольного треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной в него окружности.
S = p * r, где p - полупериметр треугольника, r - радиус вписанной в него окружности.
Площадь произвольного треугольника равна половине произведения сторон треугольника на синус угла между ними.
S = a * b * sin∠ab / 2, где a и b - стороны треугольника, sin∠ab - синус угла между этими сторонами.
Площадь произвольного треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
S = a * h / 2, где a - сторона треугольника, h - высота, проведённая к этой стороне.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
S = a * b / 2, где a и b - катеты прямоугольного треугольника.
Площади треугольников: задания
Задание 1. Периметр треугольника равен 54, одна из сторон равна 15, а радиус вписанной в него окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.
Полупериметр равен 54 / 2 = 27.
Площадь найдём как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности: S = p * r = 27 * 1 = 27.
Ответ: 27
P.S. Сторона треугольника при решении не используется, хотя она и дана. Я называю такие задания заданиями с избыточными данными. Их немного, но именно в разделе "Геометрия" они есть.
Задание 2. В треугольнике ABC известно, что AB = 12, BC = 15, sin∠ABC = 4/9. Найдите площадь треугольника ABC.
Площадь найдём как половину произведения сторон треугольника на синус угла между ними: S = a * b * sin∠ab / 2 = 12 * 15 * 4/9 / 2 = 80 / 2 = 40.
Ответ: 40
Задание 3. Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 33 . Найдите площадь этого треугольника.
Площадь найдём как половину произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне: S = a * h / 2 = 12 * 33 / 2 = 396 / 2 = 198.
Ответ: 198
Задание 4. Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 10. Найдите площадь этого треугольника.
Площадь найдём как половину произведения катетов: S = a * b / 2 = 4 * 10 / 2 = 40 / 2 = 20.
Ответ: 20
Площади четырёхугольников: формулы
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
S = a², где а - сторона квадрата.
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
S = a * h, где а - сторона параллелограмма, h - высота, проведённая к этой стороне.
Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами.
S = a² * sin∠α, где а - сторона ромба, α - угол между сторонами ромба.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
S = (a + b) / 2 * h
Площади четырёхугольников: задания
Задание 1. Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7.
Найдём сторону квадрата. Она равна диаметру вписанной в квадрат окружности, то есть a = D = r*2 = 7 * 2 = 14.
Площадь найдём как квадрат стороны: S = a² = 14² = 196.
Ответ: 196
Задание 2. Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен √2/2. Найдите площадь квадрата ABCD.
Обозначим сторону квадрата за x.
Тогда AB = BC = CD = DA = x, а DO = OC = 0,5х.
Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ADO:
AO² = DO² + DA² => (√2/2)² = (0,5x)² + x² => 1/2 = 0,25x² + x² => 1/2 = 1,25x²
Отсюда x² = 1/2 / 1,25 = 0.4.
Площадь квадрата равна квадрату стороны, то есть как раз x².
Ответ: 0,4
Задание 3. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Площадь найдём как произведение стороны на высоту, проведённую к этой стороне: S = a * h = (5+3) * 12 = 8 * 12 = 96.
Ответ: 96
Задание 4. Периметр ромба равен 56, а один из его углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.
Все стороны ромба равны, поэтому, чтобы найти сторону, нужно периметр разделить на 4: a = P / 4 = 56 / 4 = 14.
Площадь найдём как произведение квадрата стороны на синус угла между сторонами: S = a² * sin∠α = 14² * sin30° = 196 * 1/2 = 98.
Ответ: 98
Задание 5. Основания трапеции равны 7 и 19, а высота равна 6. Найдите площадь этой трапеции.
Площадь найдём как произведение полусуммы оснований на высоту: S = (a + b) / 2 * h = (7 + 19) / 2 * 6 = 13 * 6 = 78.
Ответ: 78
Задание 6. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.
Проведём высоту AH. Тогда получим прямоугольный треугольник ADH, в котором на ∠DAH останется 180° - 90° - 45° = 45°, следовательно треугольник ADH ещё и равнобедренный => DH = AH.
Проведём высоту BK и аналогично получим прямоугольный и равнобедренный треугольник BCK => KC = BK.
Все высоты трапеции равны => AH = BK = AH = KC.
Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм. По этому признаку ABKH - параллелограмм, т.к. AH = BK и AH || BK (как прямые, перпендикулярные одной прямой). В параллелограмме противоположные стороны равны => AB = HK.
Рассмотрим отрезок DC. DC = DH + HK + KC.
Подставим известные данные: 9 = DH + 3 + KC => DH + KC = 6, DH = KC = 6/2 = 3. Отсюда AH также равен 3.
Найдём площадь трапеции как произведение полусуммы оснований на высоту: S = (a + b) / 2 * h = (3 + 9) / 2 * 3 = 6 * 3 = 18.
Ответ: 18
Итог
Как оказывается, вариаций 17 задания не так уж и много, однако они отличаются сложностью выполнения: где-то нужно просто подставить имеющиеся данные в формуле, а где-то сначала необходимо найти неизвестные отрезки и только потом уже подставлять в формулу.
Удобно, что из 8 необходимых для выполнения заданий формул в справочных материалах есть 5 (2 из 4 для треугольников и 3 из 4 для четырёхугольников). Формула для площади ромба, которая использовалась при решении задачи, на самом деле является формулой площади параллелограмма, однако подходит и для ромба, т.к. ромб - частный случай параллелограмма.
Спасибо за прочтение
Надеюсь, эта информация была вам полезна.
Подписывайтесь на мой канал, ставьте лайк и оставляйте свой комментарий. Буду рада ответить на все вопросы!