<Первичная чёрная дыра (ПЧД) – гипотетический тип чёрной дыры, которая образовывалась не за счёт гравитационного коллапса крупной звезды, а в сверхплотной материи в момент начального расширения Вселенной. Учёные предположили, что необычные условия ранней Вселенной могли породить такие объекты – небольшие, но крайне плотные, появившиеся задолго до первых звёзд. До сих пор ни одной ПЧД наблюдать не удалось, но их обнаружение могло бы объяснить природу тёмной материи – загадочного вещества, составляющего 85% массы Вселенной.>
1. Элчисла «моделируют» первичные чёрные дыры?
Элчисла (L-числа) – так для упрощения разговора мы назовем натуральные числа N, у которых первые L делителей – это линейные делители d= 1, 2, 3, 4, …, L, при этом (внимание!) следующий, т.е. на единицу больший (L+ 1)-й делитель – отсутствует, а все последующие делители числа N – нас уже не будут интересовать (в рассматриваемой задаче). Указанные линейные делители (то есть растущие по линейному закону) – это самые «легкие», но предельно «плотные» (идущие подряд без единого пробела) делители, которые являются копией (длиной L) начала натурального ряда. Именно такие (линейные) делители, возможно, отчасти «моделируют» первичные чёрные дыры. Например, у элчисла N= 60 (имеющего 12 делителей) есть шесть линейных делителей: d = 1, 2, 3, 4, 5, 6, и это первое число N в натуральном ряде c L = 6, и все подобные элчисла (у которых L = 6) находятся в таком бесконечном ряде: 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, … (все они кратны числу 60, но не у всех L = 6, например, число 420 имеет делитель d = 7).
Очевидно, что сумма (Σd) всех линейных делителей находится по такой формуле:
Σd = 1 + 2 + 3 + 4 + … + L = (1 + L)∙L/2 ≈ L^2/2. (1.1)
При этом у всякого натурального числа N есть область «обитания» его потенциально возможных малых делителей: d = 1, 2, 3, 4, …, [N^0,5]. Это начало натурального ряда, где квадратные скобки […] указывают на функцию антье, которая выделяет целую часть корня квадратного из числа N, например, для N = 60 получаем [60^0,5] = [7,74…] = 7. Любопытное замечание (о многоликой сингулярности начала натурального ряда): только у трех элчисел N = 2, 6, 12 (с параметрами L = 2, 3, 4) – их старший линейный делитель на 1 больше их старшего малого делителя, а у всех прочих элчисел все их линейные делители – это всегда малые делители.
Все прочие – большие делители (Di) числа N – порождаются его всеми малыми делителями (di, где i = 1, 2, 3, 4, … – порядковый номер малого делителя, которые у нас всегда идут по возрастанию) по элементарному правилу (эту истину понимали ещё древние математики):
Di= N/di, (1.2)
поэтому чаще всего (для большинства задач теории чисел и числофизики) нам достаточно рассмотреть только малые делители (это своеобразный «паспорт» числа N, его «сермяжная правда» – наипростейшая, но самая глубокая истина о данном числе N). Так, все малые делители числа N позволяют найти, например, главные его параметры: тип (Т) числа N – это количество всех его делителей (включая 1 и само N); богатство (S) числа N– это сумма всех его делителей. При этом самыми богатыми являются так называемые сверхсоставные числа (типомаксы в рамках числофизики), у которых тип (Т) превосходит типы всех предшествующих (меньших) чисел.
Все большие делители, например, элчисла N= 60 будут такими (их мы записываем по убыванию): D = N/1, N/2, N/3, N/4, N/5, N/6 = 60, 30, 20, 15, 12, 10. Поэтому сумма (ΣD) всех больших и, будем говорить, гармонических делителей (порожденных всеми его линейными делителями), находится так:
ΣD = N∙G, (1.3)
где G = (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/L) – это точная сумма первых членов гармонического ряда (поэтому такие большие делители мы и назвали «гармонические»), причем для этой суммы в теории чисел существует известная формула:
Н = lnL + γ+ ε, (1.4)
где γ = 0,577 215 664 901 532… – постоянная Эйлера-Маскерони (математическая константа), а поправка ε = 1/2/L + (– 1/12/L^2 + 1/120/L^4 – 1/252/L^6 +…), где в скобках числа Бернулли – бесконечный ряд с чередованием знаков («+» и «–» у членов ряда), который устремляется к нулю (ε → 0 при L → ∞). Возможно, формула (1.4) «зашифровывает» в себе важную (в рамках числофизики) информацию в части гармонических делителей (даже при малых L), однако автор вычислял именно точное значение G (не используя формулу 1.4, поэтому вместо Н используем символ G) для каждой (j-й) строки табл. 1 (см. графу «G»).
Любопытно, что в теории чисел (см. формулу Лагариаса, доказанную в 2002 г.) через параметр Н можно выразить максимально возможное богатство (Smax) типомакса N(сумму всех его делителей, включая 1 и N):
Smax ≈ H + lnH∙exp(H), (1.5)
где Н вычисляем по формуле (1.4), но вместо L берем само число N, то есть Н = lnN + γ+ ε. При этом всегда Smax больше реального богатства типомакса и для относительной погрешности (ОП) формулы (1.5) (для первых 117-ти типомаксов) можно записать такое неравенство: ОП < 0,15/N^0,034.
Ранее автор неоднократно и много писал о том, что относительно редкие огромные метачисла (скажем, с L ~ 10^100) могут «моделировать» чёрные дыры колоссальной массы (см., например, статью «Сверхсоставные числа…» от 30.03.2025). Однако в данной статье будет показано, что на достаточно большом отрезке [1; N] (при N > 10^12) больше 50 % всех натуральных чисел – это именно элчисла с небольшим параметром L (и чем больше L– тем реже встречаются такие элчисла) и, вероятно, именно столь многочисленные элчисла (в рамках числофизики) могут отчасти «моделировать» первичные чёрные дыры (ПЧД).
Например, элчисло N = 60 и ему подобные элчисла 120, 180, 240, 300, 360, …, (у которых также L = 6), можно рассматривать как некие «модели» первичных чёрных дыр. Согласно числофизике, размер нашей видимой Вселенной (количество квантов дискретного пространства) может «моделировать», скажем, 51-ое метачисло N = (2^7)(3^4)(5^3)(7^2)(11^2)(13^2)∙17∙19∙…∙233 ≈ 1,92∙10^101 ≈ exp(233) (то есть данное метачисло N порождено всеми первыми простыми числами, где Р = 233 – старшее простое с порядковым номером K= 51 в ряде всех простых), у которого Т ≈ 1,52∙10^17 делителей. Но даже столь большое метачисло, всё ещё можно рассматривать как … первичную чёрную дыру, поскольку «внутри» данного метачисла набирается «всего лишь» 233 линейных делителя: d= 1, 2, 3, 4, …, 233, … (или чуть больше, вплоть до 238). А вот более, чем колоссальное метачисло N ~ exp(10^101), впервые имеющее не менее 10^101 линейных делителей, уже можно рассматривать как «модель» колоссальной чёрной дыры, «внутри» которой впервые находится копия нашей Вселенной и множество вселенных меньших размеров [см. статьи автора: «Вселенная – это … внутренность чёрной дыры…» (от 07.12.24), «Как далеко копия нашей Вселенной?» (от 11.11.24)].
2. Алгоритм поиска элчисел (АПЭ)
Учитывая возможную архиважность элчисел для понимания фундаментального «устройства» Мироздания, далее приведем алгоритм поиска элчисел (АПЭ), который сводится к следующему (что легко реализовать на ПК даже в программе Excel, начиная с N = 2, у которого L= 2):
1). Берём, будем говорить, опорное элчисло N – это первое (наименьшее) число в натуральном ряде с данным параметром L (количество линейных делителей), и вычисляем сумму (Σd) его линейных делителей:
Σd = (1 + L)∙L/2. (2.1)
2). Строим ряд кандидатов (в элчисла с данным L) по такому правилу: 1∙N, 2∙N, 3∙N, 4∙N, …, Z∙N (то есть каждое последующее число на N больше предыдущего), где произвольная граница Z– достаточно большое целое число (например, автор брал Z = 100 000). И находим для данного N (в данной j-ой строке табл. 1) параметр В (см. графу «В»), который говорит о том, что в указанном ряде кандидатов в каждом В-ом числе (начиная с опорного числа N) будет «лишний» делитель d = L + 1, то есть каждое В-ое число не является искомым элчислом (именно с параметром L). Поясним это для первых опорных чисел 2 и 6 (как его искать – см. ниже): у опорного N = 2 имеем L = 2, поэтому «лишний» делитель d = L + 1 = 3 (простое число), значит, В = 3 и каждое 3-е число-кандидат (6, 12, 18, 24, …) имеет «лишний» делитель, а вероятность (Vв) встречи с ним в первом ряде кандидатов такова: Vв= 1 – 1/В = 1 – 1/3 = 2/3; у опорного N = 6 имеем L = 3, поэтому «лишний» делитель d = L + 1 = 4 (составное число 2∙2 = 2^2), значит, В = 2 и каждое 2-ое число-кандидат (12, 24, 36, 48, …) имеет «лишний» делитель, а вероятность (Vв) встречи с ним во втором ряде кандидатов такова: Vв = (1 – 1/2) = 1/2.
3). В ряде кадидатов (где Z чисел) у каждого числа находим все первые делители d= 1, 2, 3, 4, … (так, автор находил вплоть до делителя d= 43), скажем, по такому правилу (пригодному для программы «Excel»): если (N/d– [N/d] = 0), то число d – это делитель N, иначе – не делитель.
4). На отрезке [1; Z∙N] подсчитываем количество (Ks) чисел, имеющих ровно L линейных делителей [то есть у них нет (L + 1)-го делителя и они имеют данную сумму (Σd из п.1). А также (внимание!) запоминаем первое (наименьшее) число X (из ряда кандидатов), у которого Σd = 0 (таких чисел также будет немало).
5). Вычисляем вероятность (V) встречи с найденными элчислами (имеющими L из п.1) :
V ≈ Ks/(Z∙N). (2.2)
При этом мы исходим из гипотезы, что указанная вероятность почти не меняется при сколь угодно большой границе Z (эту гипотезу можете сами проверить на ПК). Если V > 0 (при Ks > 0), то переходим к п. 7 (см. ниже), иначе выполняем п. 6.
6). Некоторые опорные числа N оказываются, скажем так, пустыми – это когда при данном L(данной сумме Σd из п. 1) получаем Ks= 0 (значит, и V= 0). Тогда мы увеличиваем L на 1 и при новой сумме Σd вычисляем параметр Ks. Таких увеличений L (каждый раз на 1) может потребоваться несколько до тех пор, пока на получим Ks > 0, и при этом (опять, внимание!) запоминаем первое число X(из ряда кандидатов), у которого Σd = 0. Здесь надо сказать, что исследуя по выше описанному алгоритму первые элчисла (вплоть до N ≈ 10^14), автор так и не нашёл элчисел N, у которых L = 5, 9, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 27, 29, 32 (жирным шрифтом выделены простые числа). Этот вопрос требует отдельного исследования на ПК и объяснений.
7). Запоминаем (выписываем для себя отдельно) ряд чисел 1∙N, 2∙N, 3∙N, 4∙N, …, 2∙Х (то есть начало ряда из п. 1) – это фрагмент чисел-кандидатов в элчисла, которые понадобятся для поиска всех первых сверхсоставных чисел (типомаксов – в рамках числофизики).
8). Берем число Х (из п. 6) в качестве очередного опорного числа Nи переходим на п. 1.
Описанный выше алгоритм, возможно, не учитывает некоторые нюансы (или не совсем понятен читателю), однако даёт общее представление о том, как действовал автор и нашел данные, представленные в табл. 1.
Указанный алгоритм также позволяет решить и другую фундаментальную задачу (впервые наиболее точно решённую у автора) – найти с помощью ПК все первые сверхсоставные числа [см. в википедии первые 37 таких чисех (2, 4, 6, …, 720720), а в рамках числофизики – это так называемые типомаксы (числа, у которых тип максимальный: Т = Тmax)], то есть числа, у которых количество (Т) всех целых делителей больше, чем у всех предшествующих им чисел (от начала натурального ряда). Каждый фрагмент ряда кандидатов в элчисла по п.7 – это массив чисел (N, 2∙N, 3∙N, 4∙N, …, 2∙Х), начинающийся со своего опорного числа N. Находим (любым способом на ПК) каноническое разложение опорного числа N и копируем его каноническое разложение (копируем степени у его простых чисел) для всех прочих чисел указанного массива. Затем у каждого из чисел такого массива (идущих за опорным числом) меняем степени у некоторых простых чисел [согласно множителю (2, 3, 4, …) перед числом N] – так мы легко находим (получаем) канонические разложения для всех прочих чисел массива (получаем некую «маску» их канонических разложений). Затем вычисляем тип (Т) каждого числа массива: у каждого числа в массиве количество всех делителей (Т) – это произведение всех его показателей степени, увеличенных на 1. Далее сортируем все числа (всех найденных массивов) по возрастанию и выбираем из них только типомаксы (у которых параметр Т больше, чем у предыдущих чисел). Таким образом, в апреле 2025 года автор нашел 117-ть первых наиболее правдоподобных типомаксов (сверхсоставных чисел): N = 2, 4, 6, …, 2 021 649 740 510 400.
3. Анализ первых элчисел
Среди первых 16-ти опорных элчисел (см. табл. 1) находятся все первые метачисла (без пропусков: 2, 6, 60, 420, 27720, 360360, 12252240, …), а вот прочие опорные элчисла – это некоторые (уже с большими пропусками) сверхсоставные числа [12, 840, 2520, 720720, …, см. в википедии, а в рамках числофизики – это так называемые типомаксы (числа, у которых тип максимальный: Т = Тmax)], то есть числа, у которых количество (Т) всех целых делителей больше, чем у всех предшествующих им чисел (от начала натурального ряда).
Реальные значения первых вероятностей (V), найденных по формуле (2.2) у первых 16-ти опорных чисел N), вообще говоря, описывает такая эмпирическая формула:
V ≈ 1/N, (3.1)
где N – j-ое опорное элчисло (из табл. 1). Модуль относительной погрешности (ОП) у формулы (3.1) можно описать такой формулой: |ОП| ≈ 1/lnN, однако |ОП| резко увеличивается при L = 3, 7, 8, 15, 24, 26, 30 [когда «лишний» делитель (d = L + 1) – это составное число (см. п. 2 в гл. 2), а параметр В «проваливается» (см. табл.1)].
Какое количество (Ks) всех возможных элчисел находится на достаточно большом отрезке [1; W] (скажем, при W> 10^12)? Очевидно, что ответ на данный вопрос даёт следующая формула:
Ks= W∙V1 + W∙V2 + W∙V3 + … + W∙V16 + … = W∙ΣV, (3.2)
где ΣV = V1 + V2 + V3 + … + V16 + … – это сумма всех первых реальных вероятностей V, возникающих на указанном отрезке (у опорных элчисел N, указанных в табл. 1). Например, для достаточно большого отрезка (при W > 10^12) сумма ΣV будет никак не меньше суммы всех первых 16-ти реальных вероятностей V (из табл. 1), которая равна следующему: ΣV= 0,500 0084 600 904 53… Чему равна реальная сумма ΣVпри W → ∞, то есть при L → ∞ (см. формулу 3.1)? Автор пока не знает ответа. Но одно ясно: при W → ∞ реальная сумма ΣVявно больше, чем 0,5, то есть на отрезке [1; W] более 50 % всех натуральных чисел являются элчислами.
Чему равна сумма (ΣΣd) всех линейных делителей у всех элчисел на достаточно большом отрезке [1; W]? Очевидно, что ответ на данный вопрос даёт следующая формула:
ΣΣd = (W∙V1)∙S1 + (W∙V2)∙S2 + (W∙V3)∙S3 + … + (W∙V16)∙S16 + … = W∙Σ(S∙V), (3.3)
где S ≡ Σd = (1 + L)∙L/2 – сумма линейных делителей у каждого из элчисел c данным параметром L(в j-ой строке табл. 1). И для достаточно большого отрезка (при W > 10^12) сумма Σ(S∙V) будет никак не меньше 2,55140688600021… . При этом ещё в 2001 году автор нашел, что на достаточно большом отрезке [1; W] сумма (m*) всех малых делителей у всех чисел указанного отрезка выражается такой красивой формулой:
m* ≈ 2/3∙W^(3/2). (3.4)
Поэтому для элчисел мы получаем такое соотношение:
ΣΣd/m* ≈ 2,5514∙W/m* ≈ 3,8271/W^0,5, (3.5)
где отношение ΣΣd/m* – это доля суммы всех линейных делителей (ΣΣd) от суммы (m*) всех малых делителей у всех чисел отрезка [1; W], и эта доля по мере роста W убывает обратно пропорционально корню квадратному из W. Причем отношение ΣΣd/m* почти повторяет (только в 4,72 раза больше) отношение m*/M* ≈ 0,81/W^0,5, где М* – сумма всех больших делителей у всех чисел отрезка [1; W]:
M* ≈ π^2/6∙(W^2)/2 ≈ 1,6449∙(W^2)/2. (3.6)
Вероятно, можно сказать, что роль линейных делителей (ΣΣd) для малых делителей (m*) столь же значима, как и роль малых делителей (m*) для больших делителей (М*) (они все порождаются всеми малыми делителями).
Параметр М* вычислялся автором как сумма всех (малых и больших) делителей на отрезке [1; W]. В части m*, M* и других параметров отрезка [1; W] – см. статью автора «Дуальность…» (от 06.05.2025). Звездочка (*) указывает на то, что здесь мы рассматриваем только черные камни (их «массы» m* и M*) Пирамиды делителей, в которой не менее интересно рассматривать и белые камни (серые камни Ствола Пирамиды), которые также имеют «массу» (mи M). На достаточно большом отрезке [1; W] (где W > 10^12) сумма (m*) всех малых делителей исчезающе мала на фоне суммы (М*) всех больших делителей (см. формулы 3.4 и 3.6), поэтому на указанном отрезке параметр М* можно воспринимать как сумму только одних больших делителей.
Далее для отрезка [1; W] (где W> 10^12) мы найдем какую долю от М* составляет сумма (ΣΣD) всех больших гармонических делителей (т.е. порожденных линейными делителями всех возможных элчисел указанного отрезка).
Пусть j = 1, 2, 3, 4, …, 16 – это порядковый номер опорного элчисла N (в каждой из строк табл. 1 – своё опорное число N), у которого его линейные делители (d= 1, 2, 3, 4, …, L) порождают такие большие гармонические делители (в порядке убывания): D= N/1, N2, Nj/3, N/4, …, N/L, а их сумма равна такому произведению: N∙G, где G = (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/L) – это j-ая гармоническая сумма (в каждой из строк она своя, см. графу «G» в табл. 1).
Согласно алгоритму поиска элчисел (АПЭ, см. п. 2 гл. 2) на достаточно большом отрезке [1; W] данный параметр L (в каждой из строк – он свой) может быть у таких кандидатов в элчисла (с данным L): N, 2∙N, 3∙N, 4∙N, …, Q∙N, где Q ≈ W/N – примерное количество кандидатов (согласно формуле 3.1), и каждый из этих кандидатов имеет (как минимум) одинаковую гармоническую сумму (G). Значит, у всех Q указанных элчисел общая сумма больших гармонических делителей будет следующей (максимально возможной и явно больше реальной): (ΣD)max = N∙G + 2∙N∙G+ 3∙N∙G + 4∙N∙G+ …+ Q∙N∙G= N∙G∙(1 + 2 + 3 + 4 + … + Q) ≈ N∙G∙(Q^2)/2 ≈ N∙G∙(W/N)^2/2 ≈ G/N∙W^2/2.
Однако мы знаем (см. п. 2 гл.2), что у некоторых кандидатов (в количестве Q/B штук, поскольку каждый В-й кандидат имеет «лишний» делитель d = L + 1) также будут иметь искомый параметр L, а общая сумма их больших гармонических делителей (в количестве L штук) будет следующей: (ΣD)в = (N∙В)∙G+ 2∙(N∙В)∙G + 3∙(N∙В)∙G+ 4∙(N∙В)∙G + …+ (Q/В)∙(N∙В)∙G = (N∙В)∙G∙(1 + 2 + 3 + 4 + … + Q/В) ≈ (N∙В)∙G∙(Q/В)^2/2 ≈ G/N∙1/B∙W^2/2. Поэтому мы окончательно получаем (для каждой j-ой строки табл. 1):
ΣD = (ΣD)max – (ΣD)в = G/N∙(1 – 1/B)∙W^2/2. (3.7)
Таким образом, на отрезке [1; W] все первые 16-ть опорных чисел N порождают такую общую сумму (ΣΣD) больших гармонических делителей:
ΣΣD= ΣR∙W^2/2, (3.8)
где R = G/N∙(1 – 1/B)] и ΣR = G1/N1∙(1 – 1/В1) + G2/N2∙(1 – 1/В2) + G3/N3∙(1 – 1/В3) + … + G16/N16∙(1 – 1/В16) ≈ 0,833079699221429… . Таким образом, на отрезке [1; W] у всех элчисел общая сумма (ΣΣD) всех больших гармонических делителей [ΣΣD≈ 0,8331∙(W^2)/2] составляет не менее 0,8331/1,6449 ≈ 0,50645 (почти 50,645 %) от суммы (М*) всех делителей у всех чисел указанного отрезка (см. формулу 3.6). Очевидно, что если количество опорных N будет расти, то и указанные проценты подрастут. И здесь уместно напомнить начало данной статьи: <тёмная материя – это загадочное вещество, составляющее 85% массы Вселенной>. Поэтому можно предположить, что в рамках числофизики тёмную материю отчасти «моделируют» большие гармонические делители, порожденные линейными делителями элчисел (которые, в свою очередь, отчасти «моделируют» первичные чёрные дыры).>
Полезно также добавить данные, полученные автором для первых 117-ти типомаксов (сверхсоставных чисел, см. в конце гл. 2). У них на отрезке [1; W] общая сумма (ΣΣD, нарастающим итогом) всех больших гармонических делителей (т.е. порожденных их линейными делителями) увеличивается примерно по такому закону:
ΣΣD ≈ 12,074∙(W^2/2)^0,5122, (3.9)
а суммарное реальное богатство (ΣSт, сумма их малых и больших делителей нарастающим итогом) всех типомаксов увеличивается примерно так:
ΣSт ≈ 15,399∙(W^2/2)^0,5147. (3.10)
Поэтому на отрезке [1; W] у всех типомаксов отношение ΣΣD/ΣSт, похоже, устремляется к числу 6/π^2 ≈ 0,60793, причем примерно по такому закону:
ΣΣD/ΣSт ≈ (6/π^2)∙[1 + 1,2643/(ln(W^2/2))^0,57], (3.11)
что подкрепляет наш вывод в части 50,645 % (см. комментарий к формуле 3.8), а также наши гипотезы в части некого «моделирования» первичных чёрных дыр и тёмной материи … миром натуральных чисел.
Физика – это не только чёрные дыры, тёмная материя и т.п. «фантазии» физиков-теоретиков. Сам человек (и даже работа его мозга) – это также фундаментальная физика (при самом глубоком уровне рассмотрения человека). Поэтому законы «устройства» социума (общества) глубже всего описывают (объясняют) законы … фундаментальной физики (а вовсе не пресловутые общественные «науки», о чём автор неоднократно писал, см., например, статьи: «Закон распределения богатства», «Моё мировоззрение», и т.п.). Вот почему законы мира чисел «моделируют» и законы «устройства» социума, в том числе и такие его феномены: 1). По данным отчёта UBS Global Wealth за 2024 год, около 47,5 % мирового богатства (это около 213 триллионов долларов) принадлежит 1,5 % населения планеты. 2). Состояние 72 млн человек самых богатых людей Земли (1% населения планеты) достигло в этом году 125 триллиона долларов и превысило состояние всего остального мира, утверждает Oxfam со ссылкой на данные Credit Suisse. Подобные факты «несправедливости» в социуме читатель может сам попытаться объяснить, исходя из законов мира чисел (коих множество в рамках числофизики).
18.05.2025, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2025